A lei dos cossenos explicada com exemplos

A fórmula

Nomeie o triângulo do jeito habitual: ângulos $A$, $B$, $C$ e lados opostos $a$, $b$, $c$. A lei dos cossenos tem três versões, uma para cada lado, e todas seguem o mesmo padrão:

Leia assim: o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos um termo de correção. O ângulo desse termo é o oposto ao lado do primeiro membro, ou seja, também o ângulo entre os dois lados do segundo membro. Quando $C = 90^\circ$, $\cos C = 0$ e a correção some: sobra $c^2 = a^2 + b^2$. O teorema de Pitágoras é, portanto, um caso particular.

Isolando o cosseno, obtém-se a forma usada para achar ângulos:

Uma demonstração curta por coordenadas

Coloque o vértice $C$ na origem e o lado $a$ sobre o semieixo positivo das abscissas: o vértice $B$ fica então em $(a, 0)$. O vértice $A$ está à distância $b$ da origem na direção do ângulo $C$: suas coordenadas são, portanto, $(b\cos C, b\sin C)$.

O lado $c$ é a distância de $A$ até $B$. Pela fórmula da distância, $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. Desenvolvendo, obtém-se $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, e como $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$, isso dá $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. A demonstração vale tanto para $C$ agudo quanto obtuso, pois as coordenadas cuidam dos sinais automaticamente.

A mesma identidade aparece na forma vetorial, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, e é por isso que o produto escalar permite achar o ângulo entre dois vetores.

Achar um lado: dois lados e o ângulo entre eles

Quando se conhecem dois lados e o ângulo formado por eles (LAL), a lei dos senos não permite começar, pois nenhum lado está associado ao seu ângulo oposto. A lei dos cossenos dá diretamente o terceiro lado.

Achar os ângulos: os três lados

Quando os três lados são conhecidos (LLL), use a forma do cosseno para cada ângulo. Comece pelo maior ângulo, oposto ao maior lado. Se ele for obtuso, seu cosseno é negativo, e o arco cosseno o trata corretamente, pois devolve ângulos de $0^\circ$ a $180^\circ$. Conhecido o maior ângulo, os outros dois são necessariamente agudos: até a lei dos senos poderia então terminar sem nenhuma ambiguidade.

Se os três comprimentos não puderem formar um triângulo, a fórmula avisa: o cosseno sai de $[-1, 1]$. Com lados 3, 4 e 8, o ângulo oposto a 8 teria $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, o que é impossível, de acordo com a desigualdade triangular $3 + 4 < 8$.

Acutângulo, retângulo ou obtusângulo sem calculadora

O sinal de $a^2 + b^2 - c^2$ é o mesmo de $\cos C$. Se $c$ for o maior lado, obtém-se uma classificação rápida:

• $c^2 < a^2 + b^2$: o maior ângulo é agudo, então o triângulo é acutângulo.
• $c^2 = a^2 + b^2$: o triângulo é retângulo.
• $c^2 > a^2 + b^2$: o triângulo é obtusângulo.

Com lados 5, 7 e 10, $100 > 74$: o triângulo é obtusângulo, como o exemplo 3 confirmou. Com 6, 8 e 9, $81 < 100$: ele é acutângulo.

A área a partir dos três lados: a fórmula de Herão

Combinando a lei dos cossenos com a fórmula da área $\frac{1}{2}ab\sin C$, chega-se à fórmula de Herão, que usa apenas os comprimentos dos lados. Seja $s = \frac{a + b + c}{2}$ o semiperímetro. Então:

Com lados 5, 7 e 10, $s = 11$ e a área vale $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. Como conferência, $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ dá o mesmo resultado, 16,25.

Escolher entre as duas leis

Use a lei dos cossenos nos casos LAL e LLL, os dois casos em que não há nenhum par lado-ângulo oposto. Use a lei dos senos quando tiver um lado e seu ângulo oposto. Em problemas mistos, a lei dos cossenos costuma entrar primeiro e a lei dos senos termina. O guia para resolver triângulos reúne todos os casos em um só lugar.

Uma vantagem prática da lei dos cossenos é que ela nunca dá resposta ambígua para um ângulo, pois cada cosseno entre $-1$ e 1 corresponde a exatamente um ângulo entre $0^\circ$ e $180^\circ$. Já a lei dos senos não distingue um ângulo agudo do seu suplemento obtuso. Por isso muitos livros recomendam calcular o maior ângulo pelo cosseno sempre que um ângulo obtuso for possível.

Erros comuns

• Calcular primeiro $a^2 + b^2 - 2ab$ e depois multiplicar por $\cos C$. O produto $2ab\cos C$ deve ser calculado antes da subtração.
• Usar um ângulo que não é o formado pelos dois lados dados.
• Esquecer a raiz quadrada final ao procurar um lado.
• Misturar graus e radianos na calculadora.
• Arredondar $c$ cedo demais e depois usar esse valor arredondado para achar os ângulos.

A calculadora da lei dos cossenos resolve os casos LAL, LLL e outros mostrando cada substituição. Para revisar os valores exatos do cosseno nos arcos notáveis, use a calculadora do ciclo trigonométrico.

Onde a lei dos cossenos é usada

Toda situação com duas distâncias conhecidas e o ângulo entre elas é caso de lei dos cossenos. Navegadores a usam para saber a que distância do porto está um barco depois de dois trechos com rumos diferentes. Engenheiros a usam para calcular o comprimento de um tirante ou cabo que liga as pontas de duas vigas que formam um ângulo conhecido. Em robótica, o ângulo que cada articulação de um braço de dois segmentos precisa assumir para alcançar um ponto sai isolando um ângulo na lei dos cossenos, já que se conhecem os comprimentos dos dois segmentos e a distância até o alvo.

A mesma fórmula mede, em ciência de dados, o quanto duas listas de números se parecem. Tratando cada lista como um vetor, o cosseno do ângulo entre elas, calculado a partir do produto escalar, chama-se similaridade de cosseno; ela é usada em buscadores e sistemas de recomendação. A geometria é idêntica à do triângulo; só muda o número de dimensões.

Exercícios resolvidos

1. Os lados 4 e 6 formam um ângulo de $120^\circ$. Ache o terceiro lado. Solução: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, já que $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Ache o maior ângulo do triângulo de lados 7, 8 e 13. Solução: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, então o ângulo mede exatamente $120^\circ$.
3. O triângulo de lados 9, 12 e 15 é acutângulo, retângulo ou obtusângulo? Solução: $81 + 144 = 225 = 15^2$, portanto ele é retângulo.
4. Ache a área do triângulo de lados 13, 14 e 15. Solução: $s = 21$, área $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Perguntas frequentes