Identidades e fórmulas trigonométricas: a lista essencial e como usá-las

Identidades e equações

A igualdade $\sin x = \frac{1}{2}$ só é verdadeira para alguns ângulos: é uma equação a resolver. A igualdade $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ é verdadeira para todo ângulo: é uma identidade, uma ferramenta que se usa. As identidades servem para reescrever uma expressão em uma forma mais prática sem mudar o valor dela.

Sempre dá para testar numericamente uma suposta identidade. Se ela falhar para um único ângulo, não é uma identidade. Se valer para vários ângulos sem relação entre si, provavelmente é verdadeira, mas é preciso uma demonstração para ter certeza. Esse reflexo numérico pega muitos erros de sinal e vale a pena ser cultivado durante o aprendizado.

As relações básicas

As relações de inverso e de quociente definem as outras quatro razões a partir do seno e do cosseno:

A relação fundamental, ou identidade pitagórica, vem da equação do ciclo trigonométrico, $x^2 + y^2 = 1$, com $x = \cos\theta$ e $y = \sin\theta$. Dividindo-a por $\cos^2 x$ ou por $\sin^2 x$, obtêm-se outras duas versões:

A simetria do ciclo trigonométrico dá as fórmulas de paridade, $\cos(-x) = \cos x$, $\sin(-x) = -\sin x$ e $\tan(-x) = -\tan x$, e as dos ângulos complementares, como $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$. Estas últimas explicam os nomes: o cosseno é o seno do complemento. O guia do ciclo trigonométrico mostra de onde vem cada uma.

Fórmulas de adição e de subtração

Essas fórmulas expressam as razões trigonométricas de uma soma ou diferença de ângulos em função de cada ângulo separadamente. Elas estão na origem de quase todas as outras fórmulas.

Repare na troca de sinal na fórmula do cosseno: o cosseno de uma soma tem um sinal de menos. Um erro clássico é achar que $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$. Um teste com $A = B = \frac{\pi}{2}$ mostra que é falso: o primeiro membro vale $\sin\pi = 0$, mas o segundo vale 2.

Da mesma forma, $\tan 15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.2679$.

Fórmulas do arco duplo e de redução de potência

Fazendo $B = A$ nas fórmulas de adição, obtêm-se as fórmulas do arco duplo. O cosseno tem três formas equivalentes, obtidas substituindo $\sin^2$ ou $\cos^2$ com a relação fundamental.

Isolando os quadrados nas duas últimas formas, obtêm-se as fórmulas de redução de potência, que transformam quadrados em expressões de primeiro grau no arco duplo. Elas são indispensáveis no cálculo, em que $\sin^2 x$ é difícil de integrar diretamente.

Por exemplo, $\int \sin^2 x\,dx = \int \frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. Trocar $x$ por $\frac{x}{2}$ nessas fórmulas dá as fórmulas do arco metade, como $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Como demonstrar uma identidade

Demonstrar uma identidade é transformar um membro, passo a passo, até chegar ao outro. Não a trate como equação fazendo a mesma coisa dos dois lados: isso pressupõe aquilo que você quer demonstrar. Estas estratégias funcionam na maioria dos casos:

1. Comece pelo membro mais complicado: há mais para simplificar.
2. Escreva tudo em função de seno e cosseno.
3. Procure padrões da relação fundamental, como $1 - \cos^2 x$, e substitua-os.
4. Reduza as frações ao mesmo denominador, ou separe uma fração em duas.
5. Fatore, ou multiplique por uma expressão conjugada como $1 + \sin x$, quando aparecer uma soma no denominador.
6. Mantenha sempre à vista o membro que quer alcançar, para que cada passo o aproxime dele.

Uma identidade mais curta combina duas famílias de fórmulas: $(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x = 1 + \sin 2x$.

Usar as identidades para resolver equações

As identidades muitas vezes transformam uma equação trigonométrica em uma equação do segundo grau em uma única razão. Resolva essa equação e depois use o ciclo trigonométrico para achar todos os ângulos.

Evite dividir os dois membros por uma razão trigonométrica como $\sin x$: você pode perder as soluções em que ela se anula. Passe tudo para um mesmo membro e fatore.

Os passos de fatoração são os mesmos das equações do segundo grau comuns; veja como resolver equações do segundo grau se precisar revisar.

Quais fórmulas decorar

Não é preciso decorar cada fórmula separadamente. Guarde a relação fundamental, as fórmulas de adição do seno e do cosseno e as definições das outras quatro razões. Todo o resto se deduz em uma ou duas linhas: as fórmulas do arco duplo, a partir das de adição com $B = A$; as outras formas da relação fundamental, por divisão; a redução de potência, isolando o quadrado na fórmula do arco duplo do cosseno; e as fórmulas de subtração, a partir das de adição com as fórmulas de paridade.

Sob a pressão de uma prova, saber deduzir uma fórmula é mais confiável do que lembrar dela, porque dá para conferir no caminho. Além disso, muitas provas trazem um formulário: a habilidade realmente avaliada é escolher qual fórmula usar, e ela só se adquire praticando com problemas variados.

Erros comuns

• Escrever $\sin(A + B) = \sin A + \sin B$ ou $\sin 2x = 2\sin x$.
• Errar o sinal em $\cos(A + B)$, que tem um sinal de menos.
• Confundir $\sin^2 x$, que significa $(\sin x)^2$, com $\sin(x^2)$.
• Trabalhar ao mesmo tempo nos dois membros de uma identidade como se fosse uma equação.
• Dividir uma equação por uma razão trigonométrica e perder soluções.

A calculadora de identidades trigonométricas verifica se duas expressões são idênticas e sugere um caminho de simplificação: um bom jeito de testar as suas próprias demonstrações.

Onde as identidades voltam a aparecer

As identidades trigonométricas não são só um exercício do capítulo de trigonometria. No cálculo, a derivada do seno sai da fórmula de adição e de dois limites, as integrais de potências de seno e cosseno dependem da redução de potência, e a substituição trigonométrica usa $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ para eliminar raízes como $\sqrt{1 + x^2}$.

Na física e na engenharia, a soma de duas ondas de mesma frequência é uma onda dessa mesma frequência, e a fórmula de adição mostra exatamente como. Escrever $a\sin x + b\cos x$ na forma $R\sin(x + \varphi)$, com $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, dá na hora a amplitude da onda resultante. Por exemplo, $3\sin x + 4\cos x$ tem amplitude 5: o valor máximo é 5 e o mínimo é $-5$. Desenvolver $5\sin(x + \varphi)$ com a fórmula de adição e comparar os coeficientes dá $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ e $\sin\varphi = \frac{4}{5}$.

O processamento de sinais, as rotações em computação gráfica e as leis usadas para resolver triângulos se apoiam nesse mesmo pequeno conjunto de fórmulas; por isso dominá-las compensa durante anos, muito depois do fim do capítulo de trigonometria.

Perguntas frequentes