Calculadora de identidades trigonométricas

A estratégia seno-cosseno

Toda função trigonométrica pode ser escrita com seno e cosseno; levar tudo a essas duas funções coloca, portanto, os dois membros de uma identidade em uma linguagem comum. A tangente, a cotangente, a secante e a cossecante viram frações, e o problema se reduz a frações algébricas em $\sin x$ e $\cos x$.

Com os dois membros escritos como frações, subtraí-los e reduzi-los ao mesmo denominador transforma a identidade em uma única afirmação: certo numerador tem de ser zero. Não é preciso estudar mais os denominadores, porque eles só indicam onde as expressões originais não estavam definidas.

O último obstáculo é que $\sin x$ e $\cos x$ não são independentes: estão ligados por $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Trocar cada potência par do cosseno por potências de $1 - \sin^2 x$ elimina essa ligação das potências pares. Depois de juntar os termos semelhantes, uma identidade verdadeira não deixa nada. É por isso que o método sempre chega a uma resposta clara para as expressões que aceita, ao contrário da abordagem por tentativa e erro de escolher um membro e transformá-lo passo a passo.

Arcos múltiplos e deslocamentos

Ângulos como $2x$ e $3x$ são primeiro desenvolvidos em funções do próprio $x$. As fórmulas do arco duplo dão $\sin 2x$ e $\cos 2x$, e o uso repetido das fórmulas da adição dá $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. A calculadora verifica essa identidade, assim como $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, exatamente pelo mesmo procedimento que qualquer outra entrada.

Os deslocamentos por um múltiplo de $\frac{\pi}{2}$ são tratados com as fórmulas de redução ao primeiro quadrante. De modo geral, a calculadora aceita todo ângulo da forma $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ com $k$ e $m$ inteiros. Arcos metade como $\frac{x}{2}$ e deslocamentos quaisquer como $x + 1$ não podem ser reduzidos a polinômios em $\sin x$ e $\cos x$; por isso a calculadora os recusa com uma explicação, em vez de fornecer uma demonstração pouco confiável.

A calculadora trabalha com uma única variável. Uma fórmula da adição como $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ tem dois ângulos independentes e fica fora do seu alcance; ela avisa isso em vez de tentar a demonstração.

Refutar uma igualdade

Se o numerador não se reduz a zero, a igualdade não é uma identidade. Para deixar isso concreto, a calculadora calcula os dois membros em um ângulo de teste e mostra que diferem. Para o erro clássico $\sin 2x = 2\sin x$, ela indica que em $x = 30°$ o primeiro membro vale cerca de $0.866$, enquanto o segundo vale $1$.

Um único contraexemplo basta para refutar uma identidade, mas nenhuma quantidade de exemplos que batem pode demonstrá-la. Duas expressões podem coincidir em muitos ângulos por acaso. É por isso que a demonstração da calculadora é algébrica, e por isso conferir alguns valores em um gráfico é uma checagem, não uma demonstração.

Simplificar expressões

Sem sinal de igual, a calculadora reescreve a expressão em seno e cosseno, reduz tudo a uma só fração, usa a relação fundamental e simplifica os fatores comuns. Depois compara o resultado com formas conhecidas. Para $\tan x + \cot x$, a fração $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ se reduz a $\frac{1}{\sin x\cos x}$, que ela reconhece como $\sec x\csc x$.

Em trigonometria, quase nunca existe uma única forma simplificada correta. $\sec x\csc x$, $\frac{1}{\sin x\cos x}$ e $\frac{2}{\sin 2x}$ são todas equivalentes. A calculadora escolhe uma forma compacta usual, e os passos mostram as frações intermediárias para você parar na versão pedida no seu curso.

Escrever uma demonstração à mão

Muitos professores pedem para transformar um membro no outro em vez de subtrair os membros, porque mexer nos dois ao mesmo tempo pode esconder passos inválidos, como elevar ao quadrado. Os passos da calculadora se adaptam diretamente a esse estilo. Comece pelo membro mais complicado, reescreva-o em seno e cosseno, reduza as frações, aplique $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ no sentido conveniente e simplifique até chegar ao outro membro.

Entre os truques úteis estão multiplicar pelo conjugado, como para demonstrar $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$, fatorar uma diferença de dois quadrados, como em $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$, e separar uma fração em várias parcelas. A calculadora confirma que essas duas identidades são verdadeiras, o que permite que você se concentre em apresentar o raciocínio com clareza.