Lei dos cossenos

Q: Quando usar a lei dos cossenos?

Quando você conhece dois lados e o ângulo entre eles (LAL) ou os três lados (LLL). Nesses casos, nenhum lado é conhecido junto com o seu ângulo oposto, então não dá para começar pela lei dos senos.

Q: Como encontrar um ângulo com a lei dos cossenos?

Isole o cosseno na fórmula, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), substitua os três lados pelos seus valores e aplique a função arco cosseno.

Q: Qual é a relação entre a lei dos cossenos e o teorema de Pitágoras?

Quando o ângulo C mede 90°, cos C vale 0 e a fórmula vira c² = a² + b². A lei dos cossenos é a versão geral, válida para qualquer triângulo.

Q: O que acontece se os meus três lados não formarem um triângulo?

A calculadora verifica a desigualdade triangular e mostra um erro se um lado for pelo menos tão comprido quanto os outros dois juntos, como com os lados 1, 2 e 5.

Q: Os resultados são exatos ou arredondados?

Quando o terceiro lado é uma raiz quadrada, ele aparece na forma exata, como √39 ou 2√19, acompanhado de um valor decimal. Os ângulos são dados em graus decimais.

Q: Como a área é calculada?

Com a fórmula área = ½ab sen C, a partir de dois lados e do ângulo formado por eles. No modo LLL, o ângulo é calculado primeiro.

Q: A lei dos cossenos pode dar dois triângulos?

Não. Dados LAL ou LLL sempre determinam um único triângulo. O caso ambíguo com dois triângulos possíveis só aparece com dados LLA e a lei dos senos.

Sobre a calculadora da lei dos cossenos

Os triângulos retângulos se resolvem com o teorema de Pitágoras e a trigonometria básica, mas a maioria dos triângulos que aparecem na topografia, na navegação, na engenharia e na física não tem ângulo reto. A lei dos cossenos generaliza o teorema de Pitágoras para qualquer triângulo; é a ferramenta certa quando você conhece dois lados e o ângulo formado por eles, ou os três lados e nenhum ângulo.

Esta calculadora trata os dois casos. No modo LAL, ela encontra o terceiro lado, mantendo um radical exato como $\sqrt{39}$ quando existe, e depois os dois ângulos restantes. No modo LLL, verifica se os lados podem formar um triângulo e encontra os três ângulos. Nos dois modos, termina com a área.

O que é a lei dos cossenos?

Em um triângulo de lados $a$ , $b$ e $c$ , opostos aos ângulos $A$ , $B$ e $C$ , a lei dos cossenos afirma que $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . A mesma relação vale para cada lado com o seu ângulo oposto.

Quando $C = 90°$ , $\cos C = 0$ e a fórmula se reduz a $c^2 = a^2 + b^2$ , o teorema de Pitágoras. O termo extra $-2ab\cos C$ corrige conforme o ângulo: encurta $c$ quando $C$ é agudo e o alonga quando $C$ é obtuso, porque o cosseno de um ângulo obtuso é negativo.

Como usar a calculadora da lei dos cossenos

Escolha LAL (dois lados e o ângulo entre eles) ou LLL (três lados).
Digite os lados $a$ e $b$ .
No modo LAL, digite o ângulo $C$ entre eles em graus; no modo LLL, digite o terceiro lado $c$ .
Faça o cálculo para ver o lado ou os ângulos que faltam e depois a área.
Confira o resultado: a soma dos ângulos tem de dar 180° e o maior ângulo tem de ficar oposto ao maior lado.

Fórmulas

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Isolando o ângulo

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Soma dos ângulos

A + B + C = 180^\circ

Área (LAL)

K = \tfrac12 ab\sin C

Exemplo resolvido: a = 5, b = 7, C = 60°

O exemplo tem $a = 5$ , $b = 7$ e ângulo entre eles $C = 60°$ . Como $\cos 60° = \frac12$ , a fórmula dá $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , então $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Em seguida, o motor encontra o ângulo $A$ com a lei dos cossenos isolando o cosseno, cerca de $43.898°$ , e o ângulo $B$ pela soma dos ângulos, cerca de $76.102°$ . A área vale $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

Como interpretamos o seu problema

LAL: encontrar o terceiro lado e os ângulos restantes

Solução passo a passo

Substituir em c² = a² + b² − 2ab·cos C
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Tirar a raiz quadrada
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Encontrar o ângulo A com a lei dos cossenos rearranjada
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
A soma dos ângulos de um triângulo vale 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Área a partir de dois lados e do ângulo entre eles
$\text{Área} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Fórmulas usadas

Lei dos cossenos
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Resolvida para um ângulo
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Área
$\text{Área} = \tfrac12 ab\sin C$

O triângulo tem lados a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 e ângulos A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. É um triângulo escaleno acutângulo de área ≈ 15.155445 e perímetro ≈ 18.244998.

Verificação

A + B + C = 180°.
A fórmula de Heron dá a mesma área: 15.155445.
Razões da lei dos senos: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Explicação detalhada

Resolver um triângulo LAL

Com dois lados e o ângulo formado por eles, a lei dos cossenos dá diretamente o terceiro lado. Só existe um triângulo possível, então não há ambiguidade. Conhecidos os três lados, a fórmula com o cosseno isolado dá cada ângulo por vez. A calculadora usa a lei dos cossenos em vez da lei dos senos para o segundo ângulo, porque a fórmula do cosseno não confunde um ângulo agudo com o seu suplemento obtuso.

Ângulos obtusos entre os lados se tratam do mesmo jeito. Para $a = 4$ , $b = 6$ e $C = 120°$ , $\cos 120° = -\frac12$ , então $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ e $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ , maior que cada um dos lados dados, como era de esperar.

Resolver um triângulo LLL

Três medidas formam um triângulo somente se a soma de duas delas for sempre maior que a terceira: é a desigualdade triangular. A calculadora verifica isso primeiro: os lados 1, 2 e 5 são recusados porque $1 + 2 < 5$ . Com lados válidos, ela calcula o ângulo $C$ e depois o ângulo $A$ , ambos com a fórmula do cosseno isolado, e encontra $B$ pela soma dos ângulos. Se você digitar o maior lado como $c$ , o primeiro ângulo calculado diz se o triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusângulo: os lados 3, 4 e 5 dão $C = 90°$ .

Lei dos cossenos ou lei dos senos?

Use a lei dos cossenos nos casos LAL e LLL, em que não se conhece nenhum par formado por um lado e o seu ângulo oposto. Use a lei dos senos nos casos ALA, LAA e LLA, em que se conhece pelo menos um lado com o seu ângulo oposto. O caso LLA pode ter duas soluções; os casos da lei dos cossenos nunca têm duas, o que a torna o ponto de partida mais seguro quando você pode escolher.

Erros comuns

Usar no modo LAL um ângulo que não está entre os dois lados dados.
Esquecer o fator 2 em $2ab\cos C$ .
Deixar a calculadora no modo radianos quando o ângulo está em graus.
Subtrair $2ab$ antes de multiplicar por $\cos C$ , o que desrespeita a ordem das operações.
Pular a verificação da desigualdade triangular e obter um cosseno impossível, maior que 1.

Dicas

Nomeie o triângulo de modo que o lado desconhecido seja $c$ e o ângulo conhecido seja $C$ .
O maior ângulo sempre fica oposto ao maior lado; use isso para conferir a resposta.
Mantenha valores exatos como $\sqrt{39}$ até o último passo para evitar o acúmulo de erros de arredondamento.
Use a calculadora do ciclo trigonométrico para achar os cossenos exatos dos ângulos notáveis.
Para triângulos retângulos, a fórmula da distância e o teorema de Pitágoras são mais rápidos.

Perguntas frequentes

Quando usar a lei dos cossenos?