O ciclo trigonométrico: radianos, redução ao primeiro quadrante e valores exatos

O que é o ciclo trigonométrico?

O ciclo trigonométrico é a circunferência de raio 1 com centro na origem, de equação $x^2 + y^2 = 1$. Os ângulos são medidos a partir do semieixo positivo das abscissas: no sentido anti-horário para ângulos positivos e no sentido horário para ângulos negativos. O lado em que o ângulo começa se chama lado inicial, e aquele em que termina, lado terminal.

Para todo ângulo $\theta$, o lado terminal corta a circunferência em um único ponto. A definição que torna o ciclo trigonométrico tão útil é que esse ponto tem coordenadas $(\cos\theta, \sin\theta)$. A tangente é o quociente das duas:

Para ângulos agudos, isso coincide com as definições no triângulo retângulo que você talvez já conheça. Trace a perpendicular do ponto até o eixo das abscissas: você obtém um triângulo retângulo de hipotenusa 1, cateto adjacente $x$ e cateto oposto $y$. Assim, $\cos\theta = \frac{x}{1}$ e $\sin\theta = \frac{y}{1}$. O ciclo trigonométrico estende essas definições a todos os ângulos, inclusive obtusos, negativos ou muito grandes.

Graus e radianos

Uma volta completa mede $360^\circ$, ou seja, $2\pi$ radianos. Um radiano é o ângulo que determina um arco de comprimento igual ao raio. No ciclo trigonométrico, cujo raio vale 1, a medida em radianos de um ângulo é exatamente o comprimento do arco determinado; é por isso que o radiano é a unidade natural no cálculo.

• $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, $45^\circ = \frac{\pi}{4}$, $60^\circ = \frac{\pi}{3}$, $90^\circ = \frac{\pi}{2}$.
• $150^\circ = 150 \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$.
• Em graus, $\frac{7\pi}{4}$ radianos $= \frac{7}{4} \times 180^\circ = 315^\circ$.
• Um radiano vale cerca de $57.3^\circ$.

Os arcos notáveis do primeiro quadrante

Três ângulos têm valores exatos que vêm de dois triângulos bem conhecidos. O ângulo de $45^\circ$ vem de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 1, cujos dois catetos medem $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Os ângulos de $30^\circ$ e $60^\circ$ vêm da metade de um triângulo equilátero de lado 1, cujos catetos medem $\frac{1}{2}$ e $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• $0$: ponto $(1, 0)$, logo $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$.
• $\frac{\pi}{6}$: ponto $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, logo $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
• $\frac{\pi}{4}$: ponto $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, logo $\tan\frac{\pi}{4} = 1$.
• $\frac{\pi}{3}$: ponto $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, logo $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
• $\frac{\pi}{2}$: ponto $(0, 1)$, logo $\sin\frac{\pi}{2} = 1$ e $\tan\frac{\pi}{2}$ não está definida.

Um padrão ajuda a memorizar: os senos de $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ valem $\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}$, e os cossenos são a mesma lista na ordem inversa. Além disso, todos os pontos satisfazem $x^2 + y^2 = 1$; por exemplo, $\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Redução ao primeiro quadrante

Não é preciso decorar separadamente os dezesseis pontos de costume. Todo ângulo tem um ângulo de referência: o ângulo agudo que o lado terminal forma com o eixo das abscissas. As coordenadas do ângulo têm o mesmo valor absoluto que as do ângulo de referência; só os sinais mudam conforme o quadrante.

• Quadrante I (de $0$ a $\frac{\pi}{2}$): $x$ e $y$ positivos, logo as três razões são positivas.
• Quadrante II (de $\frac{\pi}{2}$ a $\pi$): $x$ negativo, $y$ positivo, logo só o seno é positivo.
• Quadrante III (de $\pi$ a $\frac{3\pi}{2}$): os dois são negativos, logo só a tangente é positiva.
• Quadrante IV (de $\frac{3\pi}{2}$ a $2\pi$): $x$ positivo, $y$ negativo, logo só o cosseno é positivo.

Da mesma forma, $\frac{3\pi}{4}$ tem ângulo de referência $\frac{\pi}{4}$ no quadrante II, o que dá o ponto $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ e $\tan\frac{3\pi}{4} = -1$.

Ângulos negativos e arcos com mais de uma volta

Somar ou subtrair uma volta completa, $2\pi$, leva ao mesmo ponto: o seno e o cosseno se repetem, portanto, a cada $2\pi$. Ângulos com o mesmo lado terminal são chamados de côngruos. Para calcular um ângulo grande, subtraia múltiplos de $2\pi$ até obter a primeira determinação positiva, entre 0 e $2\pi$; para um ângulo negativo, some múltiplos de $2\pi$.

• $\frac{17\pi}{4} = 4\pi + \frac{\pi}{4}$: corresponde ao mesmo ponto que $\frac{\pi}{4}$, ou seja, $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
• $-\frac{\pi}{6}$ corresponde ao mesmo ponto que $\frac{11\pi}{6}$, logo $\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$.
• $750^\circ = 720^\circ + 30^\circ$, logo $\sin 750^\circ = \frac{1}{2}$.

A simetria em relação ao eixo das abscissas dá ainda duas regras: $\cos(-\theta) = \cos\theta$, logo o cosseno é uma função par, e $\sin(-\theta) = -\sin\theta$, logo o seno é ímpar. A tangente tem período menor, $\pi$, porque os pontos de $\theta$ e $\theta + \pi$ são diametralmente opostos e dão o mesmo quociente $\frac{y}{x}$.

A relação fundamental e o cálculo das outras razões

Como todos os pontos da circunferência satisfazem $x^2 + y^2 = 1$, todos os ângulos satisfazem a relação mais importante da trigonometria:

É o quadrante que decide o sinal; a relação sozinha só dá o valor absoluto. O guia das identidades trigonométricas constrói muitas outras identidades a partir desta.

Resolver equações trigonométricas simples com o ciclo

Para resolver uma equação como $\sin\theta = \frac{1}{2}$ com $0 \le \theta < 2\pi$, procure todos os pontos da circunferência com ordenada $\frac{1}{2}$. São dois: um no quadrante I, em $\frac{\pi}{6}$, e outro no quadrante II, em $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Da mesma forma, $\cos\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ pede pontos com abscissa $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, que ficam em $\frac{3\pi}{4}$, no quadrante II, e em $\frac{5\pi}{4}$, no quadrante III. Se o enunciado pedir todas as soluções, some $2\pi k$ para todo inteiro $k$: $\theta = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$ ou $\theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

O arco seno ou o arco cosseno da calculadora devolve uma única resposta. O ciclo trigonométrico mostra onde está a segunda solução, coisa que a calculadora nunca faz.

Como aprender de forma eficiente

Decorar dezesseis pontos como fatos isolados é demorado e frágil. É melhor dominar bem três coisas: os três pontos do primeiro quadrante para $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ e $\frac{\pi}{3}$; o jeito de achar um ângulo de referência; e os sinais de cada quadrante. Com isso, qualquer arco notável se resolve em segundos.

Treine desenhar o ciclo de memória uma vez por dia durante uma semana, marcando os ângulos em graus e em radianos. Depois, teste-se com ângulos aleatórios, inclusive negativos ou maiores que $2\pi$. A calculadora do ciclo trigonométrico dá os valores exatos e o ângulo de referência de qualquer entrada: você confere suas respostas na hora. Conteúdos posteriores, como a lei dos senos e o cálculo com funções trigonométricas, pressupõem essa fluência.

Erros comuns

• Trocar as coordenadas: a abscissa é o cosseno e a ordenada é o seno.
• Usar a calculadora em modo graus para uma questão em radianos, ou o contrário.
• Medir o ângulo de referência a partir do eixo das ordenadas em vez do eixo das abscissas.
• Dar uma só solução para uma equação como $\sin\theta = \frac{1}{2}$.
• Esquecer que a tangente não está definida onde o cosseno se anula, em $\frac{\pi}{2}$ e em $\frac{3\pi}{2}$.

Do ciclo aos gráficos do seno e do cosseno

Imagine um ponto percorrendo o ciclo trigonométrico no sentido anti-horário com velocidade constante. A altura dele acima do eixo das abscissas vai de 0 a 1 no primeiro quarto de volta, volta a 0 na meia-volta, desce até $-1$ aos três quartos e volta a 0 depois de uma volta completa. Representar essa altura em função do ângulo dá a conhecida senoide de $y = \sin x$. Representando a posição horizontal, obtém-se $y = \cos x$, a mesma onda deslocada um quarto de volta para a esquerda.

Tudo sobre esses gráficos pode ser lido no ciclo. A imagem deles é $[-1, 1]$, porque as coordenadas de um ponto de uma circunferência de raio 1 nunca passam de 1 em valor absoluto. O período é $2\pi$, porque uma volta completa leva o ponto de volta à posição inicial. O seno se anula nos múltiplos de $\pi$, onde o ponto cruza o eixo das abscissas, e o cosseno nos múltiplos ímpares de $\frac{\pi}{2}$, onde cruza o eixo das ordenadas. Ver esses gráficos como o registro de um movimento circular explica também por que as funções trigonométricas modelam marés, ondas sonoras, corrente alternada e qualquer fenômeno que se repete em ciclos.

Perguntas frequentes