Ciclo trigonométrico — Valores exatos de seno, cosseno e tangente

Sobre a calculadora do ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico transforma a trigonometria em coordenadas. Cada ângulo corresponde a um ponto de uma circunferência de raio 1, e o cosseno e o seno do ângulo são simplesmente a abscissa $x$ e a ordenada $y$ desse ponto. Decorar alguns pontos notáveis e depois usar a simetria dá valores exatos para dezenas de ângulos sem calculadora.

Esta calculadora faz esse raciocínio por você. Ela converte o ângulo de graus para radianos ou o contrário, reduz o ângulo a uma volta, encontra o quadrante e o ângulo de referência e lê valores exatos como $\frac{\sqrt3}{2}$ para os ângulos notáveis. Para os outros ângulos, dá decimais precisos. Ela também mostra a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente, e avisa quando alguma delas não está definida.

O que é o ciclo trigonométrico?

O ciclo trigonométrico é a circunferência $x^2 + y^2 = 1$ , com centro na origem e raio 1. Um ângulo $\theta$ é medido a partir do semieixo positivo dos $x$ , no sentido anti-horário se for positivo e no sentido horário se for negativo. O ponto em que o seu lado terminal corta a circunferência é $(\cos\theta, \sin\theta)$ .

Como esse ponto está na circunferência, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ para todo ângulo: é a relação fundamental da trigonometria. A tangente é o quociente $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ , a inclinação do lado terminal, e as funções inversas são $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$ , $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$ e $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ .

Como usar a calculadora do ciclo trigonométrico

Digite o ângulo, por exemplo 150, -30 ou 5pi/4.
Escolha graus ou radianos.
Faça o cálculo.
Leia o quadrante, o ângulo de referência e as coordenadas exatas.
Use os valores da tangente e das funções inversas mostrados abaixo das coordenadas.

Fórmulas

Ponto do ciclo

P(\theta) = (\cos\theta,\ \sin\theta)

De graus para radianos

\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{graus}} \cdot \frac{\pi}{180}

Relação fundamental da trigonometria

\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Exemplo resolvido: θ = 150°

O exemplo usa $\theta = 150°$ . O ângulo está no segundo quadrante, onde $x$ é negativo e $y$ positivo, e o seu ângulo de referência é $180° - 150° = 30°$ .

O ponto associado a $30°$ é $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ . Aplicando os sinais do segundo quadrante, obtém-se $(-\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ e, dividindo o seno pelo cosseno, $\tan 150° = -\frac{\sqrt3}{3}$ .

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)

Como interpretamos o seu problema

Valores no ciclo trigonométrico para 150°

\theta = 150^\circ

Solução passo a passo

Converter graus em radianos (multiplicar por π/180)
$\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}\ \text{rad}$
Localizar a extremidade do arco: no segundo quadrante
No segundo quadrante, o seno é positivo e o cosseno é negativo (regra dos sinais por quadrante).
Ângulo de referência (ângulo agudo com o eixo x)
$\theta_{\text{ref.}} = 30^\circ$
Ler as coordenadas exatas a partir do ângulo de referência e aplicar os sinais do quadrante
$(\cos\theta, \sin\theta) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\ \frac{1}{2}\right)$
Tangente = seno ÷ cosseno
$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Funções inversas (secante, cossecante, cotangente)
$\csc\theta = 2,\quad \sec\theta = -\frac{2\sqrt{3}}{3},\quad \cot\theta = -\sqrt{3}$

Fórmulas usadas

Ponto do ciclo trigonométrico
$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta)$
Tangente e funções inversas
$\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \csc\theta = \tfrac{1}{\sin\theta},\ \sec\theta = \tfrac{1}{\cos\theta},\ \cot\theta = \tfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$
Graus e radianos
$\text{rad} = \text{graus} \times \frac{\pi}{180}$

150° (5π/6 rad) termina no segundo quadrante com ângulo de referência 30°. sin θ = 1/2, cos θ = −√3/2, tan θ = −√3/3, csc θ = 2, sec θ = −2√3/3, cot θ = −√3.

Verificação

cos²θ + sin²θ = 1 (tem de ser igual a 1).

Explicação detalhada

Ângulos notáveis

Três ângulos agudos têm valores exatos simples. Em $30°$ o ponto é $(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12)$ , em $45°$ é $(\frac{\sqrt2}{2}, \frac{\sqrt2}{2})$ e em $60°$ é $(\frac12, \frac{\sqrt3}{2})$ . Esses valores vêm dos triângulos de ângulos 30-60-90 e 45-45-90 graus. Junto com os ângulos dos eixos, $0°$ , $90°$ , $180°$ e $270°$ , eles dão os dezesseis pontos conhecidos do ciclo trigonométrico.

Ângulos de referência e sinais por quadrante

Todo ângulo tem um ângulo de referência: o ângulo agudo que o seu lado terminal forma com o eixo $x$ . As coordenadas do ângulo têm o mesmo valor absoluto que as do seu ângulo de referência; só os sinais mudam conforme o quadrante. No primeiro quadrante as duas são positivas; no segundo, só o seno é positivo; no terceiro, só a tangente; no quarto, só o cosseno. Assim, $\frac{5\pi}{4}$ , que corresponde a $225°$ no terceiro quadrante com ângulo de referência de $45°$ , dá $(-\frac{\sqrt2}{2}, -\frac{\sqrt2}{2})$ .

Ângulos maiores que uma volta completa ou negativos são primeiro reduzidos ao arco côngruo somando ou subtraindo $360°$ . A calculadora reduz $765°$ a $45°$ e trata $-30°$ como $330°$ no quarto quadrante, onde o ponto é $(\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12)$ .

Valores não definidos e ângulos não notáveis

A tangente e a secante dividem pelo cosseno: por isso não estão definidas quando o lado terminal é vertical, em $90°$ e $270°$ . A cotangente e a cossecante dividem pelo seno e não estão definidas em $0°$ e $180°$ . A calculadora avisa esses casos em vez de mostrar um número sem sentido.

A maioria dos ângulos, como $20°$ , não tem expressão simples com radicais. Para eles, a calculadora dá valores decimais, mas continua usando o quadrante e o ângulo de referência para você entender de onde vêm os sinais.

Erros comuns

Trocar as coordenadas: o cosseno é a abscissa $x$ e o seno a ordenada $y$ .
Usar o modo graus para um ângulo escrito com $\pi$ , ou o modo radianos para um ângulo em graus.
Medir o ângulo de referência a partir do eixo $y$ em vez do eixo $x$ .
Aplicar o sinal de outro quadrante; lembre quais funções são positivas em cada um.
Escrever $\tan 90°$ como um número muito grande em vez de indicar que não está definida.

Dicas

Aprenda os valores em $30°$ , $45°$ e $60°$ ; todo o resto sai por simetria.
Conte em múltiplos de $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{4}$ para localizar rapidamente os ângulos em radianos.
Racionalize quando necessário: $\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ .
Confira os resultados com $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ .
Use a calculadora de identidades trigonométricas para demonstrar relações entre essas funções.

Perguntas frequentes

Quais são as coordenadas de um ponto do ciclo trigonométrico?

Para um ângulo θ, o ponto é (cos θ, sen θ). A abscissa x é o cosseno e a ordenada y é o seno.

Como encontrar o ângulo de referência?

Reduza o ângulo para entre 0° e 360° e meça o ângulo agudo com o eixo x: θ no primeiro quadrante, 180° − θ no segundo, θ − 180° no terceiro e 360° − θ no quarto.

Posso digitar ângulos em radianos?

Sim. Escolha radianos e escreva expressões como pi/3 ou 5pi/4. A calculadora converte os radianos em graus nos passos.

Por que tg 90° não está definida?

A tangente é o seno dividido pelo cosseno, e cos 90° = 0. A divisão por zero não está definida, então tg 90° e sec 90° não têm valor.

A calculadora aceita ângulos negativos e maiores que 360°?

Sim. Ela os reduz a um arco côngruo dentro de uma volta. Por exemplo, 765° é reduzido a 45° e −30° é tratado como 330°.

E os ângulos que não são notáveis?

Para ângulos como 20°, não existe forma exata simples: a calculadora mostra valores decimais e continua explicando o quadrante e o ângulo de referência.

Quais funções trigonométricas são positivas em cada quadrante?

Todas são positivas no primeiro quadrante; o seno e a cossecante no segundo; a tangente e a cotangente no terceiro; o cosseno e a secante no quarto.

Como lembrar os sinais por quadrante?

Percorra os quadrantes no sentido anti-horário a partir do primeiro: no primeiro, todas as funções são positivas; no segundo, o seno; no terceiro, a tangente; no quarto, o cosseno. A calculadora lembra essa regra no passo do quadrante para você associar cada sinal ao seu quadrante.

Experimente a calculadora do ciclo trigonométrico

Digite um ângulo e obtenha o seu ponto, os valores trigonométricos exatos e o ângulo de referência.

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