A lei dos senos, incluindo o caso ambíguo

A fórmula e as convenções de notação

Chame de $A$, $B$ e $C$ os ângulos de um triângulo, e de $a$, $b$ e $c$ os lados opostos a cada um deles, respectivamente. O lado oposto a um ângulo é aquele que não toca nele. Com essa convenção, a lei dos senos diz:

Aqui, $R$ é o raio da circunferência que passa pelos três vértices, chamada circunferência circunscrita. Nunca se usam mais de duas das três frações ao mesmo tempo: a lei é, na prática, uma proporção entre um lado, seu ângulo oposto, outro lado e o ângulo oposto a ele. Também dá para escrevê-la invertida, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$, o que é mais prático quando a incógnita é um ângulo.

A lei vale para qualquer triângulo, não só para triângulos retângulos, e faz parte do que se chama trigonometria em um triângulo qualquer. Em um triângulo retângulo com $C = 90^\circ$, ela se reduz à relação conhecida $\sin A = \frac{a}{c}$, já que $\sin 90^\circ = 1$.

Por que a lei dos senos é verdadeira

Trace a altura relativa ao lado $c$ a partir do vértice $C$ e chame seu comprimento de $h$. O triângulo fica dividido em dois triângulos retângulos. No que contém o ângulo $A$, a hipotenusa é $b$, logo $h = b\sin A$. No que contém o ângulo $B$, a hipotenusa é $a$, logo $h = a\sin B$.

As duas expressões dão a mesma altura, então $b\sin A = a\sin B$. Dividindo os dois membros por $\sin A\sin B$, obtém-se $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$. Repetindo o raciocínio com a altura de outro vértice, aparece o lado $c$. Se o ângulo $A$ for obtuso, o pé da altura cai fora do triângulo, mas as mesmas igualdades continuam valendo porque $\sin(180^\circ - A) = \sin A$.

A mesma altura dá a fórmula da área. A área é metade da base vezes a altura, então com base $c$ e altura $b\sin A$:

Por exemplo, um triângulo em que dois lados de 8 e 11 formam um ângulo de $50^\circ$ tem área $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ unidades de área.

Quando usar: casos AAL e ALA

A lei dos senos exige pelo menos um par completo: um lado e seu ângulo oposto. Se você conhece dois ângulos, conhece o terceiro, pois a soma dos ângulos de um triângulo é $180^\circ$. Assim, todo problema que dá dois ângulos e um lado pode ser resolvido pela lei dos senos. Esses casos se chamam AAL (ângulo, ângulo, lado) e ALA (ângulo, lado, ângulo).

Use em todas as contas o lado dado, e não um lado que você calculou e arredondou. Assim você evita o acúmulo de erros de arredondamento.

O caso ambíguo (LLA)

Quando se conhecem dois lados e o ângulo oposto a um deles, os dados podem não descrever nenhum triângulo, descrever exatamente um ou descrever dois diferentes. O motivo: um ângulo agudo e seu suplemento têm o mesmo seno, então resolver $\sin B = k$ gera dois ângulos candidatos, $B$ e $180^\circ - B$, que podem ser ambos válidos.

Suponha o ângulo $A$ agudo, $a$ o lado oposto a ele e $b$ o outro lado conhecido. Calcule a altura $h = b\sin A$. Então:

• Se $a < h$, o lado é curto demais para alcançar a base: nenhum triângulo.
• Se $a = h$, ele alcança a base por pouco: um triângulo retângulo.
• Se $h < a < b$, ele pode girar até duas posições: dois triângulos.
• Se $a \ge b$, só uma posição serve: um triângulo.

Se $A$ for obtuso, há um triângulo quando $a > b$ e nenhum caso contrário, pois o lado oposto ao ângulo obtuso precisa ser o maior.

Um problema de topografia

Os topógrafos usam a lei dos senos para medir distâncias que não conseguem percorrer a pé. Dois pontos $P$ e $Q$ em uma margem de um rio estão a 100 m um do outro. Na margem oposta há uma árvore $T$. O ângulo em $P$ entre a margem e a linha de visada até a árvore mede $52^\circ$, e em $Q$ mede $71^\circ$.

Essa mesma ideia de triangulação, repetida em vastas redes de triângulos, permitiu mapear países inteiros antes do posicionamento por satélite, e ainda está na base de como receptores GPS e redes de telefonia celular estimam uma posição a partir de ângulos e distâncias.

Lei dos senos ou lei dos cossenos?

Olhe os dados. Se você tem um lado e seu ângulo oposto, mais outro dado, use a lei dos senos. Se tem dois lados e o ângulo entre eles (LAL), ou os três lados (LLL), não há nenhum par completo: comece então pela lei dos cossenos. Depois de uma aplicação da lei dos cossenos, em geral você terá um par e a lei dos senos poderá terminar o serviço, mas é mais seguro calcular primeiro o maior ângulo pela lei dos cossenos para evitar a ambiguidade do arco seno.

O roteiro completo de decisão, caso a caso, está no nosso guia para resolver triângulos. Quanto aos valores dos ângulos, o ciclo trigonométrico explica por que $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$, que é a origem do caso ambíguo.

Erros comuns

• Associar um lado a um ângulo que não é oposto a ele. Faça antes uma figura com legendas.
• Esquecer a segunda solução, $180^\circ - B$, no caso LLA.
• Aceitar uma segunda solução em que a soma dos ângulos passa de $180^\circ$.
• Usar a calculadora em modo radianos com ângulos em graus.
• Arredondar demais os ângulos intermediários, o que pode alterar bastante os lados finais.

Um teste rápido de coerência pega a maioria dos erros: o maior lado deve ficar oposto ao maior ângulo, e o menor ao menor. A calculadora da lei dos cossenos resolve qualquer triângulo a partir de três dados e mostra as duas soluções no caso ambíguo: assim você pode conferir o seu trabalho.

Perguntas frequentes