Como resolver qualquer triângulo, caso a caso

O que significa resolver um triângulo

Todo triângulo tem seis elementos: três lados e três ângulos. Em geral, se você conhece três deles, sendo pelo menos um lado, o triângulo fica determinado e os outros três podem ser calculados. Conhecer só os três ângulos não basta, pois triângulos semelhantes de todos os tamanhos têm os mesmos ângulos; esse caso às vezes é chamado de AAA e não tem solução única.

Os dados são descritos na ordem em que aparecem quando se dá a volta no triângulo. ALA significa dois ângulos e o lado entre eles; LAL, dois lados e o ângulo entre eles. As seis configurações possíveis, e a ferramenta certa para cada uma, são:

• Triângulo retângulo com outros dois dados quaisquer: razões trigonométricas e teorema de Pitágoras.
• AAL ou ALA: soma dos ângulos, depois lei dos senos.
• LAL: lei dos cossenos para o terceiro lado, depois os ângulos restantes.
• LLL: lei dos cossenos para os ângulos.
• LLA: lei dos senos, verificando se há zero, um ou dois triângulos.
• AAA: apenas a forma, sem tamanho único.

Faça sempre uma figura e anote nela os dados antes de escolher um método. A maioria dos erros vem de um lado associado ao ângulo errado.

Triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente

Em um triângulo retângulo, para um ângulo agudo $\theta$, as três razões trigonométricas ligam o ângulo aos lados: o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa.

Para achar um ângulo, use uma função inversa. No triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5, o menor ângulo agudo mede $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$.

Dois ângulos e um lado (AAL, ALA)

Ache o terceiro ângulo subtraindo de $180^\circ$. Você terá então todos os ângulos e um lado, o que forma um par completo para a lei dos senos:

Esses casos sempre têm exatamente uma solução, desde que a soma dos dois ângulos dados seja menor que $180^\circ$.

Dois lados e o ângulo entre eles (LAL)

Use a lei dos cossenos para achar o lado oposto ao ângulo conhecido. Depois procure um segundo ângulo. O mais seguro é escolher o ângulo oposto ao menor dos dois lados iniciais, pois ele é necessariamente agudo e o arco seno o dá sem ambiguidade.

Três lados (LLL)

Verifique primeiro se os lados respeitam a desigualdade triangular: cada lado deve ser menor que a soma dos outros dois. Use então a forma do cosseno da lei dos cossenos, começando pelo ângulo oposto ao maior lado:

Dois lados e um ângulo que não fica entre eles (LLA)

Este é o caso ambíguo. Isole o ângulo desconhecido com a lei dos senos, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$, e analise o resultado:

• Se $\sin B > 1$, não existe triângulo.
• Se $\sin B = 1$, há um triângulo retângulo.
• Se $\sin B < 1$, teste tanto $B$ quanto $180^\circ - B$. Cada valor que deixa um terceiro ângulo positivo dá um triângulo válido.

Por exemplo, $A = 30^\circ$, $a = 6$ e $b = 10$ dão $\sin B = \frac{5}{6}$, logo $B \approx 56.44^\circ$ ou $123.56^\circ$. Os dois deixam espaço para um terceiro ângulo: há, portanto, dois triângulos. O artigo sobre a lei dos senos resolve os dois por completo, assim como os casos sem triângulo e com um só triângulo.

Ângulos de elevação e de depressão

Muitos problemas práticos descrevem ângulos medidos a partir da horizontal. Um ângulo de elevação é medido para cima até um objeto; um ângulo de depressão, para baixo. Como as horizontais que passam pelo observador e pelo objeto são paralelas, o ângulo de depressão de A para B é igual ao ângulo de elevação de B para A.

Problemas com duas visadas, como observar o topo de um prédio a partir de dois pontos no chão, se resolvem combinando um triângulo retângulo e um triângulo qualquer, muitas vezes aplicando a lei dos senos no triângulo qualquer.

Lista de conferências para cada resposta

• A soma dos três ângulos é $180^\circ$.
• O maior lado fica em frente ao maior ângulo, e o menor em frente ao menor.
• Cada lado é menor que a soma dos outros dois.
• Recalcular um lado com a outra lei dá o mesmo valor, a menos de arredondamentos.
• As respostas só são arredondadas no final, com a precisão pedida no enunciado.

Com o triângulo resolvido, a área sai de $\frac{1}{2}ab\sin C$, usando dois lados quaisquer e o ângulo entre eles. A calculadora da lei dos cossenos resolve passo a passo todos os casos de triângulos quaisquer, e a calculadora de distância entre dois pontos trata triângulos dados por coordenadas.

Arredondamento e precisão

Problemas de triângulos encadeiam várias contas: pequenos erros de arredondamento no início podem virar diferenças visíveis no fim. Mantenha toda a precisão da calculadora em cada valor intermediário, guardando os resultados na memória ou anotando pelo menos quatro algarismos significativos. Arredonde só as respostas finais, com a precisão pedida no enunciado: em geral uma ou duas casas decimais para ângulos em graus, e um número razoável de algarismos significativos para comprimentos.

Por causa dos arredondamentos, a soma dos três ângulos obtidos pode dar $179.9^\circ$ ou $180.1^\circ$. Isso não é erro de método. Mas se a soma se afastar um grau inteiro ou mais, algo deu errado, quase sempre um lado associado ao ângulo errado ou uma solução obtusa que passou despercebida. Uma segunda conta independente, por exemplo achar o último lado pelas duas leis, é o jeito mais confiável de confirmar que a resposta está certa.

Perguntas frequentes