Produto escalar explicado

A fórmula com coordenadas

O produto escalar recebe dois vetores com o mesmo número de coordenadas e devolve um único número, não um vetor. Para calculá-lo, multiplique as coordenadas correspondentes e some os resultados:

A fórmula funciona em qualquer dimensão, e é por isso que o produto escalar é tão comum em ciência de dados, onde os vetores podem ter milhares de coordenadas. Ele também é o bloco básico da multiplicação de matrizes: cada elemento de um produto de matrizes é o produto escalar de uma linha por uma coluna.

A fórmula geométrica e o ângulo entre dois vetores

O produto escalar tem uma segunda descrição, geométrica. Se $\theta$ é o ângulo formado pelos dois vetores desenhados a partir de um mesmo ponto, então:

Aqui, $|\mathbf{a}|$ é o comprimento, ou norma, de $\mathbf{a}$. As duas fórmulas sempre coincidem, o que decorre da lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado por $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ e $\mathbf{a} - \mathbf{b}$. Combinando-as, obtém-se um jeito prático de achar o ângulo entre dois vetores quaisquer:

O que o sinal indica

Como os comprimentos são positivos, o sinal do produto escalar é o mesmo de $\cos\theta$. Dá para interpretar o ângulo rapidamente, sem calculá-lo:

• Positivo: o ângulo é agudo, menor que 90 graus, e os vetores apontam mais ou menos para o mesmo lado.
• Zero: os vetores são perpendiculares, ou ortogonais.
• Negativo: o ângulo é obtuso, maior que 90 graus, e os vetores apontam mais ou menos para lados opostos.

O caso zero é o mais útil. Por exemplo, $(3, 4) \cdot (4, -3) = 12 - 12 = 0$: esses vetores são, portanto, ortogonais. Em duas dimensões, trocar as coordenadas de um vetor de lugar e trocar o sinal de uma delas sempre dá um vetor ortogonal, um truque prático para achar um vetor normal a uma reta.

Normas e vetores unitários

O produto escalar de um vetor por ele mesmo dá o quadrado da sua norma, porque o ângulo é zero e $\cos 0 = 1$:

Assim, a norma de $(2, -1, 3)$ vale $\sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14} \approx 3.742$. Dividindo um vetor pela sua norma, obtém-se um vetor unitário, de comprimento 1 e mesma direção. Os vetores unitários são práticos, porque o produto escalar de dois deles é simplesmente o cosseno do ângulo entre eles.

Projetar um vetor sobre outro

A projeção ortogonal de $\mathbf{a}$ sobre $\mathbf{b}$ é a sombra que $\mathbf{a}$ projeta sobre a reta de $\mathbf{b}$ quando a luz incide perpendicularmente a essa reta. O produto escalar a fornece diretamente:

O número $\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$, que aqui vale cerca de 4,427, é a projeção escalar de $\mathbf{a}$ sobre $\mathbf{b}$: o comprimento com sinal da sombra. As projeções decompõem um vetor em uma parte ao longo de uma direção e uma parte ortogonal a ela, um passo usado em toda parte, da física ao método dos mínimos quadrados na estatística.

O trabalho de uma força

Na física, só a parte de uma força que atua na direção do movimento realiza trabalho. O trabalho de uma força constante $\mathbf{F}$ ao longo de um deslocamento $\mathbf{d}$ é, portanto, um produto escalar: $W = \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} = |\mathbf{F}|\,|\mathbf{d}|\cos\theta$.

Propriedades e aplicações

• Comutatividade: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$.
• Distributividade: $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$.
• Os escalares saem do produto: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$.
• Desigualdade de Cauchy-Schwarz: $|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \le |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|$, que garante que a fórmula do cosseno sempre dá um valor entre $-1$ e 1.

Além da geometria, o produto escalar está no centro da similaridade de cosseno, que buscadores e sistemas de recomendação usam para medir a semelhança entre dois documentos ou dois usuários; da iluminação em computação gráfica 3D, em que o brilho depende do produto escalar do vetor normal à superfície pela direção da luz; e das redes neurais, cujos neurônios calculam produtos escalares das entradas pelos pesos. A calculadora de produto escalar calcula o produto, o ângulo e as projeções passo a passo, e a calculadora de produto vetorial trata da outra forma de multiplicar vetores, apresentada no nosso guia do produto vetorial.

Um problema clássico de geometria

O produto escalar resolve certos problemas de geometria com uma rapidez surpreendente. Que ângulo a diagonal principal de um cubo forma com uma de suas arestas? Coloque o cubo com um vértice na origem e arestas de comprimento 1 ao longo dos eixos. A diagonal vai da origem até $(1, 1, 1)$, e uma aresta vai até $(1, 0, 0)$.

O produto escalar delas vale 1, a diagonal mede $\sqrt{3}$ e a aresta mede 1, então $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ e $\theta \approx 54.7^\circ$. Na geometria clássica, seria preciso construir um triângulo retângulo dentro do cubo e raciocinar com cuidado sobre seus lados; com vetores, três linhas bastam. O mesmo raciocínio permite achar o ângulo entre duas retas, dois planos ou duas ligações químicas quaisquer, desde que suas direções possam ser descritas por vetores.

Erros comuns

• Escrever o resultado como vetor, por exemplo $(8, 0, -6)$, em vez da soma 2.
• Esquecer as raízes quadradas ao calcular as normas para a fórmula do ângulo.
• Dividir por $|\mathbf{b}|$ em vez de $|\mathbf{b}|^2$ na fórmula da projeção ortogonal.
• Misturar graus e radianos ao calcular $\cos\theta$ ou sua inversa na calculadora.
• Concluir que dois vetores são ortogonais quando um deles é, na verdade, o vetor nulo.

O sinal é um bom teste de plausibilidade. Se no seu desenho dois vetores apontam claramente para direções parecidas, o produto escalar tem de ser positivo; se a sua conta der um número negativo, procure um erro de sinal em alguma coordenada.

Exercícios

Resolva-os e depois compare com as soluções a seguir. Primeiro, calcule $(1, 3, -2) \cdot (4, -1, 5)$; os produtos valem 4, $-3$ e $-10$, então o resultado é $-9$, e o valor negativo indica que o ângulo é obtuso. Depois, ache $k$ para que $(2, k)$ seja ortogonal a $(3, -6)$: fazendo $6 - 6k = 0$, obtém-se $k = 1$. Por fim, ache o ângulo entre $(1, 0)$ e $(1, 1)$: o produto escalar vale 1 e as normas valem 1 e $\sqrt{2}$, então o ângulo mede 45 graus, como confirma um esboço rápido.

Um pouco de história

A notação vetorial é mais recente do que quase toda a matemática escolar. Na década de 1840, William Rowan Hamilton inventou os quatérnios, números com uma parte real e três partes imaginárias, e o produto de dois quatérnios puros continha ao mesmo tempo uma parte escalar e uma parte vetorial. Na década de 1880, Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside separaram esses dois pedaços em produto escalar e produto vetorial, dando aos físicos a álgebra vetorial mais simples que ainda hoje se ensina. Gibbs escolheu o ponto centralizado como símbolo, daí o nome em inglês dot product, pelo qual essa operação também é conhecida.

Perguntas frequentes