A álgebra linear é a matemática dos vetores e das matrizes. Estes guias explicam as operações, o seu significado geométrico e como calculá-las à mão sem erros de distração.
As matrizes parecem tabelas de números, mas cada uma descreve uma transformação: uma rotação, um estiramento, uma projeção. Manter essa imagem em mente explica por que o produto de matrizes não é comutativo, por que um determinante nulo significa que não há inversa e o que um autovetor realmente é.
Cada guia desta seção junta o cálculo ao seu significado. Você vai ver as regras escritas como fórmulas, exemplos resolvidos em 2×2 e 3×3 com cada produto escrito e verificações como multiplicar uma matriz pela sua inversa para obter a identidade. As calculadoras de matrizes, determinantes, matrizes inversas, autovalores, produto escalar e produto vetorial reproduzem os mesmos passos.
O cálculo à mão continua importante mesmo que qualquer software multiplique matrizes na hora: ele cai nas provas, e entender à mão um caso 2×2 ou 3×3 é o que permite interpretar o que um computador devolve para uma matriz 100×100. Todos os exemplos desta seção são pequenos o bastante para serem feitos no papel.
Comece pelas noções básicas de matrizes e depois passe aos determinantes e às inversas; os vetores e os autovalores se apoiam nos dois.
Álgebra linear
Uma matriz é uma tabela retangular de números organizados em linhas e colunas. As matrizes guardam dados de forma compacta e, principalmente, representam transformações lineares e sistemas de equações. Este guia apresenta a notação e as operações básicas, com ênfase na multiplicação de matrizes.
Álgebra linear
O determinante é um único número calculado a partir de uma matriz quadrada. Ele diz se a matriz é invertível, como ela multiplica áreas e volumes e se inverte a orientação. Este guia apresenta todos os métodos de cálculo mais usados, com exemplos detalhados.
Álgebra linear
A inversa de uma matriz quadrada desfaz o que a matriz faz, assim como a divisão desfaz a multiplicação. Uma matriz é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Este guia apresenta a fórmula rápida para matrizes 2 por 2, o método geral de Gauss-Jordan e o modo como as inversas resolvem sistemas de equações.
Álgebra linear
Um autovetor de uma matriz é uma direção que a matriz apenas estica ou inverte, sem nunca girá-la, e o autovalor é o fator de esticamento. Eles revelam o comportamento essencial de uma matriz e são a base da diagonalização, da análise de estabilidade, das cadeias de Markov e da compressão de dados.
Álgebra linear
O produto escalar combina dois vetores em um único número que mede o quanto eles apontam na mesma direção. É a ferramenta para achar o ângulo entre dois vetores, verificar se são ortogonais, projetar um vetor sobre outro e calcular o trabalho de uma força na física.
Álgebra linear
O produto vetorial multiplica dois vetores do espaço e devolve um novo vetor ortogonal aos dois. Sua norma é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores, o que faz dele a ferramenta padrão para vetores normais, áreas, torques e volumes.