Como calcular a inversa de uma matriz

O que é a matriz inversa?

Com números, o inverso de 5 é $\frac{1}{5}$, porque $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$. Matrizes não têm divisão, mas a mesma ideia vale. A inversa de uma matriz quadrada $A$ é a matriz $A^{-1}$ que satisfaz:

Aqui, $I$ é a matriz identidade, o equivalente matricial do 1. Se $A$ descreve uma transformação, como girar e esticar o plano, então $A^{-1}$ é a transformação que leva tudo de volta à posição inicial. Só matrizes quadradas podem ter inversa, e nem todas têm. Uma matriz que tem inversa se chama invertível ou não singular; uma matriz sem inversa se chama singular.

O critério é o determinante: $A$ é invertível exatamente quando $\det(A) \ne 0$. Um determinante nulo significa que a matriz achata o espaço em uma dimensão menor: entradas diferentes chegam à mesma saída e é impossível desfazer a transformação.

A fórmula para matrizes 2 por 2

Para uma matriz $2 \times 2$, existe uma fórmula curta: troque de lugar os elementos da diagonal principal, troque o sinal dos outros dois e divida pelo determinante.

Já $\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ tem determinante $4 - 4 = 0$. Sua primeira linha é o dobro da segunda: ela não tem inversa, e a fórmula obrigaria você a dividir por zero.

O método de Gauss-Jordan para qualquer ordem

Para matrizes $3 \times 3$ e maiores, o método usual é o de Gauss-Jordan. Escreva $A$ e a identidade lado a lado em uma matriz aumentada $[A \mid I]$. Use operações elementares sobre as linhas para transformar a metade esquerda em $I$. As mesmas operações transformam a metade direita em $A^{-1}$. Se aparecer uma linha de zeros à esquerda, a matriz é singular e não tem inversa.

Acontece que essa matriz tem determinante 1, e é por isso que sua inversa só tem inteiros. A maioria das inversas tem frações: mantenha os elementos como frações, e não como decimais arredondados, durante as contas.

A fórmula da matriz adjunta

Existe também uma fórmula que generaliza a regra $2 \times 2$. Substitua cada elemento pelo seu cofator, o determinante com sinal do menor obtido eliminando a linha e a coluna desse elemento: obtém-se a matriz dos cofatores. Depois transponha-a para obter a matriz adjunta, indicada por $\operatorname{adj}(A)$:

Essa fórmula é útil na teoria e para matrizes $3 \times 3$ com elementos simples, mas para uma matriz $3 \times 3$ ela exige nove determinantes $2 \times 2$, e o trabalho cresce muito rápido com a ordem. Para qualquer matriz maior, o método de Gauss-Jordan é a escolha prática.

Resolver sistemas com a inversa

Um sistema linear escrito como $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ se resolve multiplicando os dois membros à esquerda por $A^{-1}$, o que dá $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$. É o equivalente de resolver $5x = 10$ dividindo por 5.

O método é especialmente prático quando é preciso resolver vários sistemas com os mesmos coeficientes, mas termos independentes diferentes, já que a inversa é calculada uma única vez. Para um só sistema, o escalonamento costuma ser mais rápido, como explica o guia resolver sistemas de equações.

Propriedades da inversa

• A inversa de um produto inverte a ordem, como quando você tira os sapatos e depois as meias, na ordem contrária à que os colocou.
• Se $A$ é invertível, sua inversa é única.
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Para um número $k$ diferente de zero, $(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}$.
• Uma matriz diagonal com elementos diagonais não nulos se inverte tomando o inverso de cada elemento da diagonal.

A inversa na prática

As matrizes inversas são essenciais na teoria e aparecem na computação gráfica, em que desfazer uma transformação da câmera equivale a aplicar sua inversa; na criptografia, em que a cifra de Hill decifra mensagens com uma matriz inversa; e na estatística, em que a fórmula dos mínimos quadrados para a regressão contém uma inversa.

Mesmo assim, os programas de cálculo numérico raramente calculam uma inversa explicitamente só para resolver um sistema. Os métodos baseados em escalonamento são mais rápidos e menos sensíveis a erros de arredondamento, sobretudo com matrizes quase singulares, cujo determinante é próximo de zero. A calculadora de matriz inversa mostra cada passo de Gauss-Jordan com frações exatas, e a calculadora de matrizes permite conferir que $AA^{-1}$ é mesmo a identidade.

Por que a fórmula 2 por 2 funciona

A fórmula é fácil de verificar, e entender por que ela funciona ajuda a memorizá-la. Multiplique a matriz original pela matriz com a diagonal trocada e os outros elementos com sinal trocado:

O resultado é o determinante multiplicado pela identidade. Dividindo pelo determinante, sobra exatamente a identidade, que é o que uma inversa deve produzir. Essa conta mostra também por que um determinante nulo é fatal: o produto passa a ser a matriz nula, e nenhuma mudança de escala consegue transformá-la na identidade.

Erros comuns ao inverter

• Trocar o sinal dos elementos da diagonal em vez de trocá-los de lugar na fórmula $2 \times 2$.
• Esquecer de dividir pelo determinante no final.
• Aplicar uma operação de linha à metade esquerda de $[A \mid I]$, mas não à metade direita.
• Multiplicar $\mathbf{b}$ do lado errado: a solução é $A^{-1}\mathbf{b}$, e $\mathbf{b}A^{-1}$ em geral nem está definido.
• Arredondar frações para decimais cedo demais, de modo que a verificação final já não devolve exatamente a identidade.

Todos esses erros se descobrem com o mesmo hábito: multiplique o resultado pela matriz original antes de seguir em frente. A verificação leva um minuto e sai muito mais barata do que refazer toda a conta depois.

Exercícios

Tente resolvê-los antes de olhar as soluções. Primeiro, inverta a matriz de linhas $(2, 1)$ e $(5, 3)$. Seu determinante vale $6 - 5 = 1$: a inversa é então simplesmente a matriz com a diagonal trocada e os outros elementos com sinal trocado, de linhas $(3, -1)$ e $(-5, 2)$. Depois, descubra se a matriz de linhas $(3, 6)$ e $(1, 2)$ é invertível. Seu determinante vale $6 - 6 = 0$: ela é singular. Em seguida, inverta a matriz diagonal com 2, 4 e 5 na diagonal: a inversa tem como elementos diagonais um meio, um quarto e um quinto. Por fim, use a primeira solução para resolver $2x + y = 4$ e $5x + 3y = 11$: multiplicando a inversa pelos termos independentes, obtém-se $x = 3(4) - 11 = 1$ e $y = -5(4) + 2(11) = 2$, e as duas equações são satisfeitas.

Perguntas frequentes