Introdução às matrizes: guia para iniciantes

O que é uma matriz?

Uma matriz é uma tabela retangular de números, chamados de elementos, organizados em linhas e colunas. Uma matriz com $m$ linhas e $n$ colunas é de ordem $m \times n$, o que se lê “m por n”, e as linhas sempre vêm primeiro. O elemento que está na linha $i$ e na coluna $j$ da matriz $A$ é indicado por $a_{ij}$. Por exemplo:

Uma matriz com uma única coluna é uma matriz coluna, ou vetor coluna, e uma matriz com uma única linha é uma matriz linha, ou vetor linha. Uma matriz quadrada tem tantas linhas quanto colunas; são as matrizes quadradas que podem ter determinante e inversa. Duas matrizes só são iguais se tiverem a mesma ordem e todos os elementos correspondentes iguais.

Soma de matrizes e multiplicação por escalar

Matrizes de mesma ordem se somam elemento a elemento: o elemento da linha $i$ e da coluna $j$ de $A + B$ é $a_{ij} + b_{ij}$. A subtração funciona do mesmo jeito. Não dá para somar matrizes de ordens diferentes, porque não existe um jeito razoável de emparelhar seus elementos.

Multiplicar uma matriz por um escalar, isto é, por um número comum, multiplica cada elemento por esse número. Essas operações se comportam exatamente como a aritmética habitual: a soma é comutativa e associativa, e $k(A + B) = kA + kB$.

Multiplicação de matrizes: linha por coluna

A multiplicação de duas matrizes não é feita elemento a elemento. Cada elemento do produto $AB$ é o produto escalar de uma linha de $A$ por uma coluna de $B$:

Para isso, o número de colunas de $A$ tem que ser igual ao número de linhas de $B$. Se $A$ é de ordem $m \times n$ e $B$ de ordem $n \times p$, o produto é de ordem $m \times p$. Para conferir rápido, escreva as ordens lado a lado: os números de dentro precisam coincidir e os de fora dão a ordem do resultado. Uma matriz $2 \times 3$ multiplicada por uma $3 \times 4$ dá uma matriz $2 \times 4$, mas o produto de uma matriz $2 \times 3$ por outra $2 \times 3$ não está definido.

A ordem importa: AB raramente é igual a BA

Invertendo a ordem no exemplo anterior, obtém-se $BA = \begin{pmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{pmatrix}$, que é outra matriz. A multiplicação de matrizes não é comutativa. Com matrizes não quadradas é ainda pior: uma ordem pode estar definida e a outra não, ou os dois produtos podem ter ordens diferentes.

Outras regras conhecidas continuam valendo. O produto é associativo, $(AB)C = A(BC)$, e distributivo em relação à soma, $A(B + C) = AB + AC$. Mas é preciso guardar dois alertas. O produto de duas matrizes não nulas pode ser a matriz nula, e de $AB = AC$ não se pode cancelar $A$, a não ser que $A$ seja invertível. Por isso a álgebra de matrizes exige um pouco mais de cuidado do que a álgebra com números.

Ao desenvolver expressões como $(A + B)^2$, respeite a ordem: o resultado é $A^2 + AB + BA + B^2$, e não $A^2 + 2AB + B^2$.

A matriz identidade e a transposta

A matriz identidade $I$ é a matriz quadrada com uns na diagonal principal e zeros em todas as outras posições. Ela faz o papel do número 1 na aritmética: $AI = IA = A$ para toda matriz quadrada $A$ de ordem compatível. A matriz nula, com todos os elementos iguais a zero, faz o papel do 0.

A transposta $A^T$ troca linhas por colunas: o elemento da linha $i$ e da coluna $j$ de $A^T$ é $a_{ji}$. Uma matriz $2 \times 3$ vira uma matriz $3 \times 2$. Uma regra útil: transpor um produto inverte a ordem dos fatores.

Uma matriz igual à sua própria transposta é chamada de simétrica. Matrizes simétricas aparecem o tempo todo em estatística e em física, e seus autovalores se comportam particularmente bem: são sempre reais.

Matrizes e sistemas de equações

Um dos usos mais importantes das matrizes é escrever um sistema de equações lineares de forma compacta. O sistema $2x + y = 5$ e $x - 3y = -1$ vira:

Efetuando o produto do primeiro membro, recuperam-se exatamente as duas equações, o que é um bom jeito de conferir se a matriz foi montada corretamente. A solução é $x = 2$, $y = 1$. Escrever um sistema nessa forma permite usar os mesmos métodos, o escalonamento (eliminação de Gauss) ou a matriz inversa, para resolver duas equações ou duas mil. Nosso guia para resolver sistemas de equações detalha os métodos à mão, e a calculadora de sistemas de equações os resolve passo a passo.

Para que servem as matrizes

• Computação gráfica: as rotações, as mudanças de escala e as projeções dos modelos 3D são produtos de matrizes aplicados a cada vértice.
• Ciência de dados: um conjunto de dados é uma matriz com uma linha por observação e uma coluna por variável, e técnicas como a análise de componentes principais trabalham diretamente sobre ela.
• Redes: uma matriz de adjacência indica quais nós estão ligados, e suas potências contam os caminhos de um comprimento dado.
• Economia e engenharia: os modelos de insumo-produto e a análise de circuitos elétricos levam a grandes sistemas lineares.
• Aprendizado de máquina: as camadas de uma rede neural são, essencialmente, produtos de matrizes.

A calculadora de matrizes soma, multiplica e transpõe matrizes de quaisquer ordens compatíveis e mostra cada conta linha por coluna, o que a torna prática para conferir a lição de casa.

Potências e matrizes diagonais

Uma matriz quadrada pode ser multiplicada por ela mesma, então potências como $A^2 = AA$ e $A^3 = AAA$ fazem sentido. Matrizes não quadradas não têm potências, porque as ordens não seriam compatíveis. As potências de uma matriz aparecem sempre que um processo se repete: se uma matriz descreve como uma população se desloca entre regiões em um ano, sua décima potência descreve o deslocamento em dez anos.

As matrizes diagonais, cujos únicos elementos não nulos estão na diagonal principal, são especialmente simples de manipular. O produto de duas matrizes diagonais se obtém multiplicando seus elementos diagonais, então elevar uma matriz diagonal a uma potência equivale a elevar cada elemento diagonal a essa potência. Por exemplo, o quadrado da matriz diagonal com elementos 2 e 3 é a matriz diagonal com elementos 4 e 9. Boa parte da álgebra linear avançada consiste em reescrever uma matriz na forma diagonal para que esse tipo de conta fique simples.

Erros comuns com matrizes

• Trocar linhas e colunas ao indicar a ordem. As linhas sempre vêm primeiro.
• Multiplicar elemento a elemento em vez de linha por coluna.
• Supor que $AB = BA$, ou trocar a ordem dos fatores ao simplificar uma expressão.
• Tentar somar matrizes de ordens diferentes ou multiplicar matrizes cujas ordens internas não coincidem.
• Esquecer que a transposta de um produto inverte a ordem dos fatores.

Uma conferência rápida das ordens antes de qualquer conta evita a maioria desses erros. Escreva a ordem embaixo de cada matriz, confirme que a operação está definida e preveja a ordem do resultado antes de calcular qualquer elemento.

Perguntas frequentes