Como calcular o determinante de uma matriz

O que o determinante mede

Toda matriz quadrada tem um determinante, indicado por $\det(A)$ ou $|A|$. Matrizes não quadradas não têm. O determinante responde na hora a uma pergunta-chave: uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero. Um determinante nulo significa que a matriz achata o espaço em uma dimensão menor, de modo que parte da informação se perde sem volta.

Geometricamente, o valor absoluto do determinante é o fator pelo qual a matriz multiplica as áreas em duas dimensões, ou os volumes em três. O sinal indica se a transformação preserva ou inverte a orientação, como um espelho que troca esquerda e direita.

A fórmula para matrizes 2 por 2

Para uma matriz $2 \times 2$, multiplique os elementos da diagonal principal e subtraia o produto dos elementos da diagonal secundária:

Aqui a interpretação como área é fácil de ver. As colunas $(3, 1)$ e $(1, 2)$ da matriz $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ geram um paralelogramo de área $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$, que é exatamente o determinante.

Expansão por cofatores para matrizes 3 por 3

Para matrizes maiores, a expansão por cofatores, conhecida no Brasil como teorema de Laplace, reduz o problema a determinantes menores. Escolha uma linha, por exemplo a primeira. Para cada elemento, elimine a linha e a coluna dele para obter uma matriz menor, cujo determinante se chama menor complementar, e multiplique o elemento por esse menor. Depois combine os resultados seguindo o tabuleiro de sinais $+, -, +$:

Você pode expandir por qualquer linha ou coluna, e o resultado é o mesmo. Escolha a que tiver mais zeros, porque cada zero elimina um termo inteiro.

A regra de Sarrus, um atalho só para 3 por 3

Para matrizes $3 \times 3$, existe um atalho fácil de lembrar. Some os três produtos que descem para a direita, continuando pela outra borda, e subtraia os três produtos que descem para a esquerda. Para a matriz do exemplo 2, os produtos descendentes são $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ e $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, cuja soma é 11. Os produtos ascendentes são $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ e $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, cuja soma é $-38$. O determinante vale $11 - (-38) = 49$, igual ao obtido por cofatores.

Cuidado: a regra de Sarrus só funciona com matrizes $3 \times 3$. Aplicar o mesmo esquema de diagonais a uma matriz $4 \times 4$ dá um resultado errado, um erro comum que custa caro nas provas.

O escalonamento para matrizes maiores

A expansão por cofatores fica lenta rapidamente: uma matriz $10 \times 10$ exigiria milhões de produtos. O escalonamento (eliminação de Gauss) é muito mais eficiente. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal: leva-se então a matriz à forma triangular, levando em conta o efeito de cada operação elementar sobre o determinante:

• Somar a uma linha um múltiplo de outra linha não muda o determinante.
• Trocar duas linhas multiplica o determinante por $-1$.
• Multiplicar uma linha por um número $k$ multiplica o determinante por $k$.

Propriedades que poupam tempo

• Uma matriz com uma linha ou coluna de zeros tem determinante 0.
• Uma matriz com duas linhas iguais, ou com uma linha múltipla de outra, tem determinante 0.
• Para uma matriz $n \times n$, $\det(kA) = k^n\det(A)$, e não $k\det(A)$.
• O determinante da matriz identidade vale 1.

Essas regras permitem achar muitos determinantes sem nenhuma conta. Se você perceber que uma linha é o dobro de outra, o determinante é zero e a matriz não tem inversa, o que pode confirmar com o guia sobre a inversa de uma matriz.

A regra de Cramer: resolver sistemas com determinantes

Os determinantes permitem resolver diretamente sistemas lineares pequenos. Para $2x + y = 5$ e $x - 3y = -1$, o determinante dos coeficientes vale $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Troque a primeira coluna pelos termos independentes para obter $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$, e depois a segunda coluna para obter $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$. Então $x = \frac{D_x}{D} = 2$ e $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

A regra de Cramer é elegante e prática para sistemas $2 \times 2$ e $3 \times 3$, mas pouco eficiente para sistemas maiores, em que o escalonamento é mais rápido. Se $D = 0$, o sistema não tem solução ou tem infinitas. A calculadora de determinantes mostra os passos da expansão por cofatores e do escalonamento para matrizes de qualquer ordem, e a calculadora de matrizes cuida das contas complementares.

Um exemplo 4 por 4: deixe os zeros trabalharem

Determinantes grandes ficam fáceis de manejar quando se aproveitam os zeros. Considere a matriz de linhas $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ e $(0, 0, 0, 4)$. A última linha tem três zeros: expandindo por ela, sobra um único termo, o elemento 4, em uma posição de sinal mais, multiplicado pelo determinante da matriz $3 \times 3$ obtida eliminando a última linha e a última coluna.

Essa matriz menor tem linhas $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ e $(0, 0, 2)$. Sua última linha também tem dois zeros, então se expande de novo: o elemento 2 multiplicado por $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ dá 2. O determinante completo vale, portanto, $4 \cdot 2 = 8$. Sem os zeros, a mesma conta exigiria vinte e quatro produtos de quatro números cada.

Erros comuns a evitar

• Esquecer a alternância de sinais da expansão por cofatores, principalmente o sinal de menos na segunda posição da primeira linha.
• Usar a regra das diagonais de Sarrus em uma matriz $4 \times 4$ ou maior.
• Multiplicar uma linha por um número durante o escalonamento sem corrigir o determinante.
• Trocar duas linhas e esquecer de trocar o sinal.
• Supor que $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$, o que em geral é falso; só os produtos se separam direitinho.

Um bom hábito é calcular um determinante $3 \times 3$ de dois jeitos, por exemplo expandindo por uma linha e depois por uma coluna que tenha um zero. Se os resultados baterem, você pode confiar; se forem diferentes, a discrepância leva você a um erro de sinal.

Determinantes em três dimensões

Em três dimensões, o valor absoluto de um determinante $3 \times 3$ é o volume do paralelepípedo, uma caixa inclinada, cujas arestas são os três vetores coluna. A matriz do exemplo 2 transforma, portanto, um cubo unitário em um sólido de volume 49. A mesma ideia dá um teste rápido para saber se três vetores são coplanares: eles o são exatamente quando o determinante é zero, porque uma caixa achatada não tem volume. O produto vetorial está intimamente ligado a isso, já que costuma ser calculado como um determinante simbólico $3 \times 3$.

Perguntas frequentes