Calculadora de matriz inversa

Sobre a calculadora de matriz inversa

A inversa de uma matriz faz o papel da divisão para os números. Se $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , então $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ : uma inversa resolve de uma vez todos os sistemas com a mesma matriz dos coeficientes. As inversas também servem para desfazer transformações na computação gráfica, para decifrar mensagens com a cifra de Hill, e aparecem em toda a estatística, por exemplo na fórmula da regressão por mínimos quadrados.

Esta calculadora verifica primeiro se o determinante é diferente de zero, porque só nesse caso a inversa existe. Para uma matriz $2 \times 2$ , ela aplica a regra rápida de «trocar e mudar o sinal». Para matrizes maiores, faz a eliminação de Gauss-Jordan na matriz aumentada $[A \mid I]$ e lista cada operação nas linhas. Todos os elementos são frações exatas, e o último passo multiplica $A$ pelo resultado para confirmar que se obtém a matriz identidade.

O que é a inversa de uma matriz?

A inversa de uma matriz quadrada $A$ é a matriz $A^{-1}$ que satisfaz $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ , em que $I$ é a matriz identidade. Quando existe, ela é única, e a matriz é chamada de invertível ou não singular.

Uma matriz quadrada é invertível exatamente quando o seu determinante é diferente de zero. Condições equivalentes são as suas linhas serem linearmente independentes, o seu posto ser igual ao seu tamanho e a equação $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ ter apenas a solução nula. Uma matriz que não é quadrada nunca tem inversa dos dois lados.

Como usar a calculadora de matriz inversa

Digite uma matriz quadrada com espaços entre os elementos e ponto e vírgula entre as linhas, por exemplo 4 7; 2 6.
Clique em Calcular a inversa.
Veja o passo do determinante; se ele for zero, a matriz não tem inversa.
Acompanhe as operações nas linhas ou a regra das 2×2 até a inversa.
Confira a verificação final: A·A⁻¹ é igual à identidade.

Fórmulas

Inversa de uma matriz 2×2

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Método de Gauss-Jordan

[A \mid I] \;\longrightarrow\; [I \mid A^{-1}]

Inversa de um produto

(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}

Resolução de um sistema

A\mathbf{x} = \mathbf{b} \;\Rightarrow\; \mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}

Exemplo resolvido: Matriz 2×2

O exemplo inverte $A = \begin{pmatrix}4 & 7\\2 & 6\end{pmatrix}$ . O seu determinante vale $4 \cdot 6 - 7 \cdot 2 = 10$ , que é diferente de zero: a inversa, portanto, existe.

Trocando os elementos da diagonal, mudando o sinal dos outros dois e dividindo por 10, obtém-se $\begin{pmatrix}\frac35 & -\frac{7}{10}\\-\frac15 & \frac25\end{pmatrix}$ . Multiplicar esse resultado por $A$ devolve a matriz identidade, como confirma o último passo.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

A^{-1} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}

Como interpretamos o seu problema

Calcular a inversa de uma matriz 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 7 \\ 2 & 6\end{bmatrix}^{-1}

Solução passo a passo

Verificar que o determinante é diferente de zero
$\det A = 10 \neq 0$
Trocar a e d de lugar, inverter o sinal de b e c e depois dividir pelo determinante
$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix}6 & -7 \\ -2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\frac{3}{5} & -\frac{7}{10} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5}\end{bmatrix}$
Verificação: A·A⁻¹ = I
$A A^{-1} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$

Fórmulas usadas

Inversa de uma matriz 2×2
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$
Gauss-Jordan
$[A \mid I] \sim [I \mid A^{-1}]$

O determinante vale 10, então A é invertível. Todos os elementos da inversa são exatos.

Verificação

Multiplicar A pelo resultado dá exatamente a matriz identidade.

Explicação detalhada

Eliminação de Gauss-Jordan

Para uma matriz $3 \times 3$ ou maior, escreva $A$ e a identidade lado a lado e aplique as operações nas linhas a toda a matriz aumentada. Divida cada linha do pivô para que o pivô valha 1 e depois zere todos os outros elementos dessa coluna. Quando a metade esquerda virar a identidade, a metade direita é $A^{-1}$ , porque a mesma sequência de operações que transforma $A$ em $I$ transforma $I$ em $A^{-1}$ .

Para a matriz de linhas $(2, 0, 1)$ , $(1, 1, 0)$ e $(0, 1, 3)$ , a calculadora divide a primeira linha por 2, zera a primeira coluna e depois a segunda, divide a terceira linha por $\frac72$ e zera a terceira coluna. Todos os elementos da inversa são múltiplos de $\frac17$ , porque o determinante vale 7.

Matrizes não invertíveis

Se o determinante é zero, a eliminação produz uma linha de zeros à esquerda e nunca chega à identidade. A calculadora detecta isso logo no início. A matriz $\begin{pmatrix}1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$ não é invertível, porque a sua segunda linha é o dobro da primeira: a calculadora informa que ela não tem inversa em vez de mostrar uma resposta absurda.

Um determinante apenas pequeno não é problema em aritmética exata, mas é um sinal de alerta com dados reais: a inversa terá elementos grandes, e pequenos erros de medição em $A$ serão muito amplificados.

Usando a inversa

Para resolver $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ , multiplique $A^{-1}$ por $\mathbf{b}$ . Isso é eficiente quando vários sistemas têm a mesma matriz. Para um único sistema, escalonar diretamente a matriz aumentada $[A \mid \mathbf{b}]$ costuma custar menos do que calcular primeiro a inversa completa.

O atalho das $2 \times 2$ não é um truque à parte: é o que a eliminação de Gauss-Jordan dá quando aplicada simbolicamente a uma matriz $2 \times 2$ qualquer. Ver o determinante $ad - bc$ no denominador de cada elemento explica por que um determinante nulo torna a inversa impossível.

Erros comuns

Esquecer de dividir pelo determinante na fórmula das 2×2.
Trocar de lugar os elementos fora da diagonal em vez de mudar o seu sinal.
Aplicar uma operação nas linhas só à metade esquerda da matriz aumentada.
Escrever $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ ; a ordem se inverte.
Tentar inverter uma matriz cujo determinante é zero.

Dicas

Calcule primeiro o determinante; se ele for zero, pare.
Mantenha os elementos como frações para evitar que erros de arredondamento estraguem a verificação da identidade.
Confira o resultado multiplicando $A$ pela sua resposta; cada elemento da diagonal deve valer 1 e todos os outros 0.
Procure o determinante nos denominadores dos elementos da inversa.
Use a calculadora de matrizes para multiplicar a inversa por um vetor de termos independentes.

Perguntas frequentes

Como calcular a inversa de uma matriz 2×2?

Troque de lugar os dois elementos da diagonal, mude o sinal dos outros dois e divida cada elemento pelo determinante ad − bc.

Como calcular a inversa de uma matriz 3×3?

Escreva a matriz aumentada [A | I] e use operações nas linhas para transformar a metade esquerda na identidade. A metade direita é então a inversa.

Quando uma matriz não tem inversa?

Quando o seu determinante é zero. Uma matriz assim é chamada de singular ou não invertível; as suas linhas são linearmente dependentes e a eliminação não consegue chegar à identidade.

Como conferir uma inversa?

Multiplique a matriz original pela inversa. Se o resultado for a matriz identidade, a inversa está correta. A calculadora faz isso automaticamente.

Uma matriz que não é quadrada tem inversa?

Não. Só matrizes quadradas podem ter uma inversa válida dos dois lados.

Posso digitar decimais?

Sim. Os decimais são convertidos em frações exatas: 0.5 é tratado como 1/2 e a inversa é calculada de forma exata.

Qual é a inversa da matriz identidade?

A própria matriz identidade, porque multiplicá-la por ela mesma não a altera.

Experimente a calculadora de matriz inversa

Digite uma matriz quadrada e obtenha a sua inversa exata, com cada operação nas linhas e a verificação final.

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