Calculadora de autovalores e autovetores com passo a passo

Sobre a calculadora de autovalores

Autovalores e autovetores descrevem as direções que uma matriz mantém fixas e quanto ela as estica. Eles estão por trás do algoritmo PageRank original do Google, dos modos de vibração de pontes e moléculas, da análise de componentes principais na estatística, da estabilidade das equações diferenciais e dos níveis de energia na mecânica quântica. Em um curso de álgebra linear, costuma ser o capítulo em que tudo o que veio antes — determinantes, eliminação gaussiana e núcleos — se junta.

Esta calculadora segue o método dos livros didáticos. Ela forma o polinômio característico $\det(\lambda I - A)$ , encontra as suas raízes de forma exata com o teorema das raízes racionais, a fórmula de Bhaskara e a divisão de polinômios, e depois resolve $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ para cada autovalor, de modo a obter autovetores com componentes inteiras simples sempre que possível.

Os autovalores irracionais ficam na forma exata com radicais, os complexos aparecem em pares conjugados e os repetidos vêm acompanhados da sua multiplicidade algébrica e da sua multiplicidade geométrica, para que você veja de relance se a matriz é diagonalizável. São aceitas matrizes de 2×2 a 4×4, o que cobre praticamente todos os exercícios e provas.

O que são autovalores e autovetores?

Um vetor não nulo $\mathbf v$ é um autovetor de uma matriz quadrada $A$ se multiplicá-lo por $A$ apenas muda a sua escala: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ para algum número $\lambda$ . Esse número é o autovalor associado a $\mathbf v$ . A maioria dos vetores muda de direção quando multiplicada por uma matriz; os autovetores são os especiais, que continuam sobre a sua própria reta pela origem.

Reescrever a definição como $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ mostra como encontrá-los. Uma solução não nula só existe se $A - \lambda I$ não for invertível, ou seja, se o seu determinante for zero. A equação $\det(A - \lambda I) = 0$ se chama equação característica; para uma matriz $n \times n$ , é um polinômio de grau $n$ : há, portanto, exatamente $n$ autovalores contados com multiplicidade, e alguns podem ser complexos.

Cada autovalor tem infinitos autovetores, porque todo múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor. Por isso as respostas são dadas na forma de um vetor representativo, ou de uma base quando há várias direções independentes, e o seu livro pode mostrar outro múltiplo do mesmo vetor.

Como usar a calculadora de autovalores

Escreva a matriz com uma linha da matriz por linha de texto e os elementos separados por espaços, por exemplo 4 1 na primeira linha e 2 3 na segunda.
Você também pode escrever a matriz inteira em uma única linha, com ponto e vírgula entre as linhas, como 4 1; 2 3.
Os elementos podem ser inteiros, decimais, frações ou números negativos. A matriz precisa ser quadrada, de 2×2 a 4×4.
Clique em Calcular os autovalores para ver o polinômio característico, as suas raízes e o cálculo dos autovetores de cada autovalor.
Consulte as multiplicidades indicadas para os autovalores repetidos se precisar saber se a matriz é diagonalizável.

Fórmulas

Equação dos autovalores

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Equação característica

\det(\lambda I - A) = 0

Atalho para 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Traço e determinante

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonalização de uma matriz

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Exemplo resolvido: 2×2, racionais

O exemplo resolvido é calculado ao vivo para $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ . O traço vale 7 e o determinante $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ : o polinômio característico é, portanto, $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ e os autovalores são 5 e 2.

Para $\lambda = 5$ , a matriz $A - 5I$ tem linhas $(-1, 1)$ e $(2, -2)$ , e o seu núcleo é gerado por $\langle 1, 1 \rangle$ . Para $\lambda = 2$ , $A - 2I$ tem linhas $(2, 1)$ e $(2, 1)$ , o que dá $\langle -1, 2 \rangle$ . A verificação é rápida: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , exatamente cinco vezes o vetor.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\lambda = 5,\ 2

Como interpretamos o seu problema

Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz 2×2.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Solução passo a passo

Escrever a equação característica
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Para uma matriz 2×2, ela é λ² − (traço)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Polinômio característico
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Raízes racionais encontradas pelo teorema das raízes racionais
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Autovetores para λ = 5: resolver (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Autovetores para λ = 2: resolver (A − λI)v = 0
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Fórmulas usadas

Equação característica
$\det(\lambda I - A) = 0$
Equação dos autovetores
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Autovetores: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Verificação

A soma dos autovalores ≈ 7 é igual ao traço 7.
O produto dos autovalores é igual ao determinante 10.

Explicação detalhada

Passo 1: o polinômio característico

Para uma matriz 2×2, o polinômio se escreve diretamente como $\lambda^2 - (\text{traço})\lambda + \det$ . Para matrizes maiores, a calculadora expande $\det(\lambda I - A)$ por cofatores. A matriz simétrica 3×3 de linhas $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ e $(0, 4, 9)$ dá $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Duas verificações rápidas pegam a maioria dos erros de conta. O coeficiente de $\lambda^{n-1}$ é o oposto do traço, aqui $-(2 + 3 + 9) = -14$ , e o termo constante vale $(-1)^n \det A$ , aqui $-22$ , porque o determinante vale 22.

Passo 2: encontrar as raízes

Com coeficientes inteiros, todo autovalor racional divide o termo constante: a calculadora testa, portanto, os divisores de 22 e encontra $\lambda = 1$ , depois divide o polinômio por $(\lambda - 1)$ e fatora o polinômio de segundo grau restante. Os autovalores são 11, 2 e 1, e a sua soma, 14, é de fato igual ao traço.

Quando o fator de segundo grau restante não se fatora nos racionais, a fórmula de Bhaskara dá radicais exatos. Para $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ , o polinômio $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ tem raízes $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , cerca de 5.372 e $-0.372$ . Se o discriminante for negativo, as raízes são complexas conjugadas; a matriz de rotação $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ dá $\lambda^2 + 1 = 0$ , logo $\lambda = \pm i$ , o que traduz o fato de uma rotação de 90° não deixar nenhuma direção real fixa.

Passo 3: os autovetores a partir do núcleo

Para cada autovalor, substitua-o em $A - \lambda I$ e resolva o sistema homogêneo por eliminação gaussiana. Como a matriz não é invertível, pelo menos uma linha se reduz a zeros e sobra uma variável livre. Dando à variável livre um valor conveniente e fazendo a substituição de trás para frente, obtém-se o autovetor, que a calculadora reduz a inteiros pequenos.

Para $\lambda = 11$ no exemplo 3×3, $A - 11I$ tem linhas $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ e $(0, 4, -2)$ . A primeira linha impõe $v_1 = 0$ e as outras duas dizem que $v_3 = 2v_2$ : obtém-se $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Matrizes simétricas como esta sempre têm autovalores reais e autovetores ortogonais entre si, o que você pode verificar com o produto escalar.

Autovalores repetidos e diagonalização

Um autovalor que aparece $k$ vezes como raiz tem multiplicidade algébrica $k$ . O número de autovetores independentes associados a ele é a sua multiplicidade geométrica, que pode ser menor. $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ e $2I$ têm ambas o autovalor duplo 2, mas a primeira tem só uma direção de autovetor, $\langle 1, 0 \rangle$ , enquanto a segunda tem duas, $\langle 1, 0 \rangle$ e $\langle 0, 1 \rangle$ .

Uma matriz pode ser escrita como $PDP^{-1}$ , com os autovalores na diagonal de $D$ e os autovetores nas colunas de $P$ , exatamente quando a multiplicidade geométrica de cada autovalor é igual à sua multiplicidade algébrica. A diagonalização facilita o cálculo de potências, já que $A^k = PD^kP^{-1}$ , e é assim que os autovalores preveem o comportamento a longo prazo de modelos populacionais e de cadeias de Markov.

Atalhos úteis

Os autovalores de uma matriz triangular são os elementos da sua diagonal: a matriz de linhas $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ e $(0, 0, 6)$ tem, portanto, autovalores 6, 4 e 1 sem nenhuma conta. Uma matriz é invertível exatamente quando 0 não é autovalor, e os autovalores de $A^{-1}$ são os inversos dos de $A$ , com os mesmos autovetores.

Mudanças simples em uma matriz deslocam os seus autovalores de forma previsível. Somar $c$ vezes a identidade soma $c$ a cada autovalor, multiplicar a matriz por um escalar multiplica cada autovalor por esse escalar e elevá-la à potência $k$ eleva cada autovalor à potência $k$ , tudo isso sem mudar os autovetores. Uma matriz e a sua transposta têm os mesmos autovalores, mas em geral não os mesmos autovetores. Essas propriedades permitem conferir respostas e prever resultados antes de qualquer cálculo.

Erros comuns

Calcular $\det(A) - \lambda$ em vez de $\det(A - \lambda I)$ ; é preciso subtrair $\lambda$ de cada elemento da diagonal.
Aceitar o vetor nulo como autovetor; por definição, um autovetor é não nulo.
Errar uma conta no polinômio e depois encontrar um núcleo que contém só o vetor nulo.
Supor que toda matriz tem autovalores reais; as rotações e muitas matrizes não simétricas têm autovalores complexos.
Achar que um autovetor está errado porque difere do autovetor do livro por um fator constante.
Concluir que uma matriz é diagonalizável sem verificar a multiplicidade geométrica dos autovalores repetidos.

Dicas

Confira se a soma dos autovalores é igual ao traço e se o produto deles é igual ao determinante.
Teste cada autovetor calculando $A\mathbf v$ e comparando com $\lambda\mathbf v$ .
Leia os autovalores diretamente na diagonal das matrizes triangulares.
Para matrizes 3×3, expanda o determinante pela linha ou coluna com mais zeros.
Use a calculadora de determinante para confirmar que $A - \lambda I$ não é invertível para cada autovalor.
Espere autovalores reais e autovetores ortogonais sempre que a matriz for simétrica.
Coloque primeiro um escalar em evidência na matriz; os autovalores são simplesmente multiplicados por esse fator.

Perguntas frequentes

Como digitar uma matriz na calculadora de autovalores?

Escreva uma linha da matriz por linha de texto com espaços entre os elementos, ou coloque todas as linhas em uma só, separadas por ponto e vírgula, como 4 1; 2 3. Frações, decimais e números negativos são aceitos.

Quais tamanhos de matriz são aceitos?

Matrizes quadradas de 2×2 a 4×4. Os autovalores só estão definidos para matrizes quadradas: uma matriz 3×2, por exemplo, é recusada com uma explicação.

A calculadora encontra autovalores complexos?

Sim. Quando o polinômio característico tem discriminante negativo, os autovalores aparecem como um par de complexos conjugados, como λ = i e −i para uma matriz de rotação de 90°.

Por que o meu autovetor é diferente do autovetor do livro?

Todo múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor. ⟨1, 1⟩ e ⟨3, 3⟩ descrevem a mesma direção. Verifique se um dos vetores é múltiplo do outro.

O que significam multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica?

A multiplicidade algébrica é o número de vezes que um autovalor aparece como raiz do polinômio característico. A multiplicidade geométrica é o número de autovetores independentes associados a ele. A calculadora informa as duas para os autovalores repetidos.

A calculadora dá autovalores exatos ou decimais?

Exatos sempre que possível: inteiros, frações e radicais como 5/2 ± √33/2. Ela só passa para valores decimais precisos quando as raízes de um polinômio de grau três ou quatro não podem ser encontradas de forma exata.

Qual é a relação entre autovalores, determinante e traço?

O produto de todos os autovalores é igual ao determinante e a soma deles é igual ao traço. Para a matriz de linhas (4, 1) e (2, 3), 5 × 2 = 10 é o determinante e 5 + 2 = 7 é o traço.

O que significa um autovalor igual a zero?

Que a matriz é singular: ela não tem inversa e o seu determinante é zero. Os autovetores associados a λ = 0 geram o núcleo da matriz.

Para que servem os autovalores fora da sala de aula?

Para a análise de vibrações, a estabilidade de sistemas de controle, a análise de componentes principais, a mecânica quântica, as cadeias de Markov e o ranqueamento dos buscadores: em todo lugar onde é preciso entender a aplicação repetida de uma transformação linear.

Experimente a calculadora de autovalores

Digite uma matriz quadrada e obtenha os seus autovalores e autovetores exatos, com o polinômio característico e cada passo.

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Calculadora de autovalores