Autovalores e autovetores explicados com exemplos

A equação que os define

A maioria dos vetores muda de direção quando é multiplicada por uma matriz. Alguns vetores especiais, não: a matriz apenas os estica, encolhe ou inverte sobre a mesma reta. Esses são os autovetores, e o fator pelo qual cada um é multiplicado é o seu autovalor. Em símbolos, um vetor não nulo $\mathbf{v}$ é autovetor da matriz quadrada $A$ associado ao autovalor $\lambda$ quando:

O vetor nulo fica de fora, porque satisfaria a equação para qualquer $\lambda$. Já os autovalores podem ser zero, negativos ou até complexos. Um autovalor igual a 2 significa que os vetores nessa direção dobram de comprimento, $-1$ que são invertidos e 0 que são achatados no vetor nulo, o que acontece exatamente quando a matriz é singular.

Encontrar os autovalores com a equação característica

Reescreva a equação na forma $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Para existir uma solução não nula, a matriz $A - \lambda I$ precisa ser singular, então seu determinante precisa ser zero. Assim se obtém a equação característica:

Para uma matriz $n \times n$, essa é uma equação polinomial de grau $n$ em $\lambda$: há, portanto, $n$ autovalores, contados com multiplicidade e admitindo valores complexos. Para uma matriz $2 \times 2$, o polinômio é do segundo grau, e você pode resolvê-lo com os métodos de como resolver equações do segundo grau.

Um exemplo completo 2 por 2

Qualquer múltiplo não nulo de um autovetor também é autovetor: $(3, 3)$ ou $(-2, 4)$ seriam respostas igualmente certas. O que importa é a direção, não o comprimento. Repare também que as duas linhas de $A - \lambda I$ eram proporcionais nos dois casos. Isso é garantido quando $\lambda$ é de fato um autovalor, e é uma ótima forma de conferir as contas.

Dois atalhos: o traço e o determinante

Os autovalores de qualquer matriz quadrada estão ligados a dois números fáceis de obter. A soma deles é igual ao traço, a soma dos elementos da diagonal, e o produto deles é igual ao determinante:

No exemplo 1, o traço vale $4 + 3 = 7 = 5 + 2$ e o determinante $12 - 2 = 10 = 5 \cdot 2$. Para uma matriz $2 \times 2$, isso significa que a equação característica é sempre $\lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$, o que dispensa desenvolver o determinante à mão. As matrizes triangulares são ainda mais simples: seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal.

Autovalores complexos e repetidos

A matriz de rotação $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ gira cada vetor em 90 graus: nenhuma direção real permanece sobre a própria reta. Sua equação característica é $\lambda^2 + 1 = 0$, que dá os autovalores complexos $\lambda = \pm i$. Os autovalores complexos de uma matriz real sempre vêm em pares conjugados e indicam uma rotação.

Os autovalores também podem ser repetidos. A matriz $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ tem o autovalor duplo 2, mas $A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ impõe $y = 0$: os únicos autovetores são, portanto, os múltiplos de $(1, 0)$. Uma matriz assim, com menos autovetores independentes do que sua ordem, não é diagonalizável. A matriz identidade, ao contrário, também tem o autovalor repetido 1, mas todo vetor não nulo é autovetor dela.

As matrizes simétricas escapam dessas duas complicações. Seus autovalores são sempre reais, e autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais. Para $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$, os autovalores são 3 e 1, com os autovetores $(1, 1)$ e $(1, -1)$, cujo produto escalar é zero.

Diagonalização e potências de uma matriz

Quando uma matriz $n \times n$ tem $n$ autovetores independentes, ela é diagonalizável. Coloque os autovetores nas colunas de $P$ e os autovalores na diagonal de $D$; então:

Elevar uma matriz diagonal a uma potência é elevar cada elemento da diagonal a essa potência: calcular $A^{100}$ fica, assim, simples. Os autovalores também preveem o comportamento a longo prazo: quando um autovalor é estritamente maior em valor absoluto do que todos os outros, multiplicar repetidamente por $A$ leva quase qualquer vetor inicial na direção do autovetor associado a esse autovalor.

Onde os autovalores importam

• Buscadores: o algoritmo PageRank original classifica páginas da web pelo autovetor dominante de uma matriz de links.
• Engenharia: as frequências naturais de vibração de pontes e edifícios são obtidas por autovalores, que os projetistas mantêm longe das frequências de excitação previstas.
• Ciência de dados: a análise de componentes principais usa os autovetores de uma matriz de covariância para encontrar as direções de maior variação.
• Equações diferenciais: os sinais dos autovalores determinam se um equilíbrio é estável ou instável.
• Mecânica quântica: as grandezas mensuráveis, como os níveis de energia, são autovalores de operadores.

A calculadora de autovalores encontra autovalores e autovetores, inclusive complexos, e mostra o polinômio característico passo a passo. A calculadora de determinantes é útil para conferir $\det(A - \lambda I)$ em um valor candidato.

Um exemplo 3 por 3

Matrizes maiores seguem o mesmo método, e os zeros ajudam como nos determinantes. Tome a matriz de linhas $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 4)$ e $(0, 4, 9)$. Desenvolvendo $\det(A - \lambda I)$ pela primeira linha, obtém-se $(2 - \lambda)$ multiplicado pelo polinômio característico do bloco de linhas $(3, 4)$ e $(4, 9)$. Esse bloco tem traço 12 e determinante $27 - 16 = 11$, então seu polinômio é $\lambda^2 - 12\lambda + 11 = (\lambda - 1)(\lambda - 11)$.

Os autovalores são, portanto, 2, 1 e 11. Para conferir: a soma deles é 14, o traço da matriz completa, e o produto é 22, o determinante dela. Os autovetores são $(1, 0, 0)$ para 2, $(0, -2, 1)$ para 1 e $(0, 1, 2)$ para 11. A matriz é simétrica e, como prometido, esses três vetores são ortogonais dois a dois.

Erros comuns

• Subtrair $\lambda$ de todos os elementos em vez de apenas dos elementos da diagonal.
• Aceitar o vetor nulo como autovetor depois de resolver $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$.
• Supor que um autovalor repetido sempre tem dois autovetores independentes.
• Esquecer de conferir o resultado calculando $A\mathbf{v}$ e comparando com $\lambda\mathbf{v}$.

A verificação final é o hábito mais valioso de todos. Ela exige só um produto de matriz por vetor, e se $A\mathbf{v}$ não for múltiplo de $\mathbf{v}$, o autovalor ou o autovetor está errado.

Uma imagem geométrica

Imagine aplicar a matriz do exemplo 1 a cada ponto de uma folha de papel quadriculado. A maioria das setas traçadas a partir da origem se alonga e gira ao mesmo tempo. Mas as setas sobre a reta que passa por $(1, 1)$ simplesmente ficam cinco vezes mais longas, e as que estão sobre a reta que passa por $(1, -2)$ dobram de comprimento, sem sair da própria reta. Os autovetores são o esqueleto da transformação: sabendo o que acontece ao longo dessas duas retas, você sabe o que acontece em todo lugar, porque qualquer vetor pode ser decomposto em componentes ao longo delas.

Perguntas frequentes