Calculadoras de álgebra linear
A álgebra linear é a matemática dos vetores e das matrizes, e está por trás de tudo, da resolução de sistemas de equações à computação gráfica e à ciência de dados. Estas calculadoras trabalham com frações exatas: as operações com linhas, as expansões em cofatores e os polinômios característicos que elas mostram correspondem ao que você escreveria à mão.
Calculadoras
Calculadora de matrizes
Multiplique, some ou subtraia matrizes, multiplique uma delas por um escalar ou eleve-a a uma potência, calcule a transposta, a forma escalonada reduzida, o posto e o traço, com frações exatas e todos os passos.
Calculadora de determinante
Digite uma matriz quadrada para calcular o seu determinante, com a regra ad − bc para 2×2, a expansão em cofatores para 3×3 e a redução à forma triangular por eliminação gaussiana para tamanhos maiores, em aritmética exata.
Calculadora de matriz inversa
Digite uma matriz quadrada para calcular a sua inversa com frações exatas, pelo atalho das 2×2 ou pela eliminação de Gauss-Jordan em [A | I], e confira que A multiplicada pela sua inversa dá a identidade.
Calculadora de autovalores
Digite uma matriz quadrada para calcular os seus autovalores e autovetores, com o polinômio característico, as raízes exatas, incluindo radicais e pares complexos, e o cálculo do núcleo para cada autovetor.
Calculadora de produto escalar
Digite dois vetores para obter o produto escalar, as normas, o ângulo entre eles e a projeção de um sobre o outro, com cada multiplicação e cada soma à vista.
Calculadora de produto vetorial
Digite dois vetores do espaço para obter o produto vetorial pelo método do determinante, a sua norma, que é a área do paralelogramo determinado por eles, e uma verificação de que ele é ortogonal aos dois.
Tópicos abordados
- Operações com matrizes
- Soma, produto, transposta, posto e eliminação gaussiana.
- Determinantes e inversas
- Expansão em cofatores, método de Gauss-Jordan e casos em que uma matriz não é invertível.
- Autovalores
- Polinômio característico, autovetores e multiplicidades.
- Vetores
- Produto escalar, ângulo entre dois vetores, projeções e produto vetorial.
Aritmética exata para matrizes
Os cálculos com matrizes se deterioram facilmente quando se arredondam decimais a cada passo. Estas calculadoras usam frações exatas do começo ao fim: um escalonamento por eliminação gaussiana ou uma matriz inversa aparece na forma que você obteria à mão, e um elemento como nunca vira . Quando um resultado, como um autovalor, é irracional, a forma exata com radicais é dada junto com um valor aproximado.
Cada operação é detalhada passo a passo: a operação com linhas aplicada, o cofator expandido ou o polinômio característico sendo fatorado. Por isso as ferramentas são úteis para corrigir exercícios, em que um único erro de sinal no início de uma conta altera todas as linhas seguintes.
Onde a álgebra linear é usada
Sistemas de equações lineares, computação gráfica, aprendizado de máquina, economia e física quântica se apoiam em vetores e matrizes. Um determinante indica se um sistema tem solução única, os autovalores descrevem o comportamento de longo prazo de um processo, o produto escalar mede ângulos e projeções, e o produto vetorial dá um vetor ortogonal a dois outros. Entender essas operações à mão torna muito mais fácil interpretar os resultados de qualquer software.
Guias
- Como conferir a lição de casa e os resultados de matemática
Quase todo resultado de matemática pode ser conferido sem o gabarito. Substituir na equação, refazer o caminho de trás para a frente, estimar, testar valores especiais e checar as unidades pegam a grande maioria dos erros em uma fração do tempo gasto no exercício.