Calculadora de produto vetorial

Sobre a calculadora de produto vetorial

O produto vetorial pega dois vetores do espaço e produz um terceiro vetor ortogonal aos dois. É o método usual para encontrar um vetor normal a um plano, calcular a área de um paralelogramo ou de um triângulo em 3D e descrever grandezas de rotação na física, como o torque e o momento angular.

Esta calculadora obtém $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ para vetores do espaço com a conhecida disposição em determinante, em que $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ e $\mathbf{k}$ ocupam a primeira linha. Ela mostra cada componente separadamente, incluindo a troca de sinal do termo central, fonte da maioria dos erros, e depois dá a norma e confirma que o resultado é ortogonal aos dois vetores dados.

O que é o produto vetorial?

Para os vetores $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ e $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ , o produto vetorial é o vetor $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Ele está definido para vetores do espaço tridimensional, e o resultado também é um vetor do espaço.

A sua direção é ortogonal a $\mathbf{u}$ e a $\mathbf{v}$ , e o seu sentido é dado pela regra da mão direita: curve os dedos da mão direita de $\mathbf{u}$ para $\mathbf{v}$ , e o polegar indica o sentido de $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . A sua norma vale $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , a área do paralelogramo determinado pelos dois vetores.

Como usar a calculadora de produto vetorial

Digite as três componentes do primeiro vetor separadas por vírgulas, por exemplo 1, 2, 3.
Digite as três componentes do segundo vetor.
Clique em Calcular.
Leia as componentes em i, j e k e o vetor resultante.
Use o passo da norma para áreas, e a verificação de ortogonalidade para confirmar o resultado.

Fórmulas

Forma de determinante

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Norma

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Anticomutatividade

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Área do triângulo

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Exemplo resolvido: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

O exemplo calcula o produto vetorial de $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ por $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . A componente em $\mathbf{i}$ vale $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ ; a componente em $\mathbf{j}$ vale $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ ; a componente em $\mathbf{k}$ vale $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Assim, $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ , com norma $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ , a área do paralelogramo determinado pelos dois vetores. O seu produto escalar com cada um dos vetores dados vale 0, o que confirma que ele é ortogonal a eles.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

Como interpretamos o seu problema

Produto vetorial de dois vetores 3D.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Solução passo a passo

Escrever o determinante com os vetores unitários i, j, k na primeira linha
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
Componente i
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
Componente j (atenção ao sinal de menos da expansão)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
Componente k
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Norma = área do paralelogramo determinado por u e v
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Verificar a ortogonalidade
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Fórmulas usadas

Produto vetorial
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Norma
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

O resultado é ortogonal a u e a v; a sua norma 3√6 ≈ 7.348469228 é a área do paralelogramo que eles determinam (o triângulo tem metade dessa área).

Verificação

O resultado é ortogonal aos dois vetores dados (os dois produtos escalares valem 0).

Explicação detalhada

O método do determinante

Escrever os vetores unitários na primeira linha de um determinante $3 \times 3$ e expandir por essa linha é a forma mais simples de lembrar a fórmula. Cada componente é um determinante $2 \times 2$ formado pelas colunas que não correspondem àquele vetor unitário. O termo central leva um sinal de menos que vem do padrão dos cofatores $+, -, +$ ; por isso a calculadora o destaca explicitamente.

O produto vetorial é distributivo em relação à soma, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , e multiplicar um dos vetores por um escalar multiplica o resultado. Por outro lado, ele não é associativo: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ e $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ são, em geral, vetores diferentes. Para vetores do plano como $\langle 1, 2, 0 \rangle$ e $\langle 3, 4, 0 \rangle$ , o resultado $\langle 0, 0, -2 \rangle$ aponta direto para baixo ao longo do eixo $z$ , e a sua norma 2 é a área do paralelogramo no plano.

Interpretação geométrica

A norma do produto vetorial é igual à área do paralelogramo de lados $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$ ; a metade dela é, portanto, a área do triângulo que eles formam. Para um triângulo de vértices $P$ , $Q$ e $R$ , calcule o produto vetorial de $\overrightarrow{PQ}$ por $\overrightarrow{PR}$ e divida a sua norma por dois.

Se os vetores forem paralelos, o paralelogramo se achata e o produto vetorial é o vetor nulo. Para $\langle 1, 2, 3 \rangle$ e $\langle 2, 4, 6 \rangle$ , a calculadora devolve $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , o que fornece um teste rápido de paralelismo.

Vetores normais, planos e física

O produto vetorial de dois vetores diretores de um plano dá um vetor normal ao plano, e com um ponto do plano você pode escrever a sua equação $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ . Na computação gráfica, o mesmo cálculo fornece as normais das superfícies para a iluminação.

Na física, o torque vale $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ e a força magnética sobre uma carga em movimento vale $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . Nos dois casos, o resultado é ortogonal ao plano dos dois vetores, como prevê a regra da mão direita.

Erros comuns

Esquecer o sinal de menos da componente em $\mathbf{j}$ .
Supor que $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ ; inverter a ordem inverte o sentido.
Aplicar o produto vetorial a vetores do plano sem antes acrescentar uma terceira componente nula.
Confundir o produto vetorial com o produto escalar, que dá um número.
Esquecer de dividir a norma por dois para obter a área de um triângulo.

Dicas

Confira a sua resposta calculando o produto escalar dela com cada um dos vetores dados; os dois resultados devem valer 0.
Memorize $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ e $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ como recurso mnemônico.
Para vetores 2D, digite 0 como terceira componente; a resposta ficará na direção do eixo $z$ .
Use a calculadora de produto escalar para encontrar o ângulo entre os vetores.
Use a calculadora de determinante para obter o produto misto $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ como um determinante $3 \times 3$ .
Desenhe os dois vetores e aplique a regra da mão direita para prever o sinal de cada componente antes de calcular.

Perguntas frequentes

Como calcular o produto vetorial?

Coloque i, j e k na primeira linha de um determinante 3×3 e os dois vetores nas linhas seguintes, depois expanda pela primeira linha. Não esqueça o sinal de menos da componente em j.

O que representa a norma do produto vetorial?

A área do paralelogramo determinado pelos dois vetores. A metade é a área do triângulo que eles formam.

O produto vetorial é comutativo?

Não. Trocar a ordem inverte o sentido: v × u = −(u × v).

Posso calcular o produto vetorial de vetores 2D?

Não diretamente; o produto vetorial é definido para três componentes. Acrescente 0 como terceira componente a cada vetor, e o resultado ficará na direção do eixo z.

O que significa um produto vetorial nulo?

Que os vetores são paralelos (ou que um deles é o vetor nulo): eles não determinam, portanto, nenhuma área.

Como conferir um produto vetorial?

Calcule o produto escalar dele com cada um dos vetores originais. Os dois resultados devem ser nulos, porque o produto vetorial é ortogonal aos dois vetores dados. A calculadora faz essa verificação por você.

Como encontrar um vetor normal a um plano?

Pegue dois vetores não paralelos contidos no plano e calcule o produto vetorial deles. O resultado é ortogonal ao plano.

Experimente a calculadora de produto vetorial

Digite dois vetores 3D e obtenha o produto vetorial, a sua norma e a verificação de ortogonalidade, passo a passo.

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