Produto vetorial de dois vetores explicado

O que o produto vetorial fornece

O produto escalar transforma dois vetores em um número. Já o produto vetorial transforma dois vetores em um terceiro vetor. Ele só é definido em três dimensões, e seu resultado tem duas características essenciais. Sua direção é ortogonal aos dois vetores originais, e sua norma é igual à área do paralelogramo que eles formam:

Aqui, $\theta$ é o ângulo entre os vetores, entre 0 e 180 graus. Como o seno de 0 e de 180 graus é zero, o produto vetorial de dois vetores paralelos é sempre nulo, e vetores ortogonais dão a maior norma possível para os seus comprimentos.

A fórmula com coordenadas

Para $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ e $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$, as coordenadas são:

Essa fórmula é difícil de decorar, por isso a maioria das pessoas usa um determinante simbólico. Coloque os vetores unitários $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ e $\mathbf{k}$ na primeira linha, depois as coordenadas de $\mathbf{a}$ e de $\mathbf{b}$, e desenvolva pela primeira linha:

Termine sempre com as duas verificações por produto escalar. Elas levam segundos e pegam quase todos os erros de sinal, principalmente na coordenada do meio.

A regra da mão direita e a ordem

Existem dois sentidos opostos ortogonais aos dois vetores, e a regra da mão direita escolhe um deles. Aponte os dedos da mão direita ao longo de $\mathbf{a}$, dobre-os em direção a $\mathbf{b}$, e o polegar indica a direção de $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. Para os vetores unitários da base canônica, obtém-se $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$, $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ e $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$.

Invertendo a ordem, o polegar aponta para o outro lado: o produto vetorial é, portanto, anticomutativo:

Ele também não é associativo: $(\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} = \mathbf{0}$, enquanto $\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) = \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j}$. Por outro lado, é distributivo em relação à soma, e os escalares saem do produto, de modo que $(k\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = k(\mathbf{a} \times \mathbf{b})$.

Áreas de paralelogramos e triângulos

Como sua norma é a área de um paralelogramo, o produto vetorial dá áreas diretamente a partir de coordenadas. Os vetores do exemplo 1 definem um paralelogramo de área $|(-3, 6, -3)| = \sqrt{54} \approx 7.35$, e o triângulo com esses dois lados tem metade dessa área, cerca de 3,67.

Vetores normais e equações de planos

Um plano fica determinado por um de seus pontos e um vetor normal, ortogonal ao plano. Como o produto vetorial de dois vetores do plano é ortogonal aos dois, ele é exatamente um vetor normal desses. No exemplo 2, o vetor $(6, 3, 2)$ é normal ao plano que passa por $P$, $Q$ e $R$, então o plano tem equação $6x + 3y + 2z = d$. Substituindo $P(1, 0, 0)$, obtém-se $d = 6$.

O plano é $6x + 3y + 2z = 6$, e $Q$ e $R$ também o satisfazem: $3 \cdot 2 = 6$ e $2 \cdot 3 = 6$. A mesma ideia é usada o tempo todo em computação gráfica 3D, em que cada triângulo de um modelo precisa de um vetor normal para definir sua iluminação e qual face está voltada para a câmera.

Torque e outras aplicações na física

O torque, ou momento de uma força, que mede seu efeito de rotação, é um produto vetorial: $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$, em que $\mathbf{r}$ vai do eixo de rotação até o ponto de aplicação da força. Sua norma vale $|\mathbf{r}|\,|\mathbf{F}|\sin\theta$.

O momento angular e a força magnética sobre uma carga em movimento também são produtos vetoriais, e em todos os casos a regra da mão direita dá a direção do resultado.

O produto misto e o volume

Combinando os dois produtos, obtém-se o produto misto $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$, igual ao determinante $3 \times 3$ cujas linhas são $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ e $\mathbf{c}$. Seu valor absoluto é o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Para $(1, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$ e $(0, 0, 3)$, o paralelepípedo é um simples bloco retangular e o produto misto vale $1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$. Um produto misto nulo significa que os três vetores são coplanares.

A calculadora de produto vetorial calcula produtos vetoriais detalhando cada passo do determinante, e também dá as áreas e o ângulo entre os vetores. Combine-a com a calculadora de produto escalar para conferir a ortogonalidade.

Distância de um ponto a uma reta

A interpretação como área também resolve um problema clássico de distância. Tome uma reta que passa por um ponto $A$ com vetor diretor $\mathbf{u}$, e um ponto $P$ fora da reta. O paralelogramo formado por $\overrightarrow{AP}$ e $\mathbf{u}$ tem área $|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{u}|$, e como sua base mede $|\mathbf{u}|$, sua altura, que é a distância de $P$ à reta, é a área dividida pela base.

Por exemplo, tome a reta que passa pela origem com vetor diretor $(1, 2, 2)$ e o ponto $P(2, 1, 3)$. O produto vetorial $(2, 1, 3) \times (1, 2, 2) = (-4, -1, 3)$ tem norma $\sqrt{26}$, e o vetor diretor tem norma 3, então a distância vale $\frac{\sqrt{26}}{3} \approx 1.70$. Dá para confirmar com uma projeção: o ponto está a $\sqrt{14}$ da origem e sua projeção sobre a reta está a $\frac{10}{3}$, e o teorema de Pitágoras dá a mesma distância.

Erros comuns e exercícios

• Esquecer o sinal de menos da coordenada do meio ao desenvolver o determinante.
• Inverter a ordem dos vetores, o que troca o sentido do resultado.
• Usar a norma do produto vetorial como área do triângulo em vez da metade dela.
• Tentar calcular o produto vetorial de vetores do plano sem antes acrescentar uma terceira coordenada igual a zero.

Para praticar, confira que $(1, 0, 0) \times (0, 1, 0) = (0, 0, 1)$, que é a regra $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$. Depois confirme que $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6)$ é o vetor nulo, já que o segundo vetor é o dobro do primeiro. Por fim, calcule $(1, 1, 0) \times (0, 1, 1)$; você deve obter $(1, -1, 1)$, e as duas verificações por produto escalar devem dar zero.

Por que a fórmula dá um vetor ortogonal

Vale a pena entender por que a fórmula com coordenadas funciona, em vez de simplesmente confiar nela. Faça o produto escalar do resultado com o próprio $\mathbf{a}$: você obtém $a_1(a_2b_3 - a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1)$. Desenvolvendo, cada termo aparece duas vezes com sinais opostos, então o total é exatamente zero. A mesma simplificação acontece com $\mathbf{b}$. Na linguagem dos determinantes, fazer o produto escalar com $\mathbf{a}$ troca a linha dos vetores unitários por $\mathbf{a}$, o que dá um determinante com duas linhas iguais, e um determinante assim é sempre zero. Nos dois casos, a ortogonalidade está embutida na fórmula e não depende da sorte de alguns exemplos particulares.

Perguntas frequentes