Calculadora de integral definida

Por que F(b) − F(a) dá a área

Imagine uma função área $A(t)$ que mede a área sob $f$ desde $a$ até um ponto móvel $t$. Se você desloca $t$ por uma quantidade minúscula $h$, a área acrescentada é uma faixa estreita de altura aproximadamente $f(t)$ e largura $h$, então $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Dividindo por $h$ e fazendo-o tender a zero, vê-se que $A'(t) = f(t)$: a função área é uma primitiva de $f$.

Duas primitivas quaisquer diferem apenas por uma constante, então $A(t) = F(t) + C$ para a primitiva $F$ que você encontrou. Como $A(a) = 0$, a constante vale $-F(a)$, e a área completa é $A(b) = F(b) - F(a)$. É por isso que a constante de integração nunca aparece em uma integral definida: ela se cancela na subtração.

Área com sinal e área geométrica

Quando a curva passa abaixo do eixo, a integral subtrai essa parte. Em $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$, o arco positivo e o arco negativo se compensam exatamente, e o resultado é 0. Esse é o valor correto da integral, mas não é a área que você hachuraria em um gráfico.

Para obter a área total, encontre os zeros da função no intervalo, integre em cada parte e some os valores absolutos dos resultados. A calculadora aceita abs(): digitando abs(x-1) de 0 a 2, ela devolve 1, a área somada de dois triângulos, enquanto x-1 no mesmo intervalo devolve 0.

Integrais impróprias: limites infinitos e assíntotas verticais

Uma integral é imprópria quando um limite de integração é infinito ou quando a função é ilimitada em algum ponto do intervalo. O seu valor é então definido como um limite. Para $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$, a calculadora encontra $F(x) = -\frac1x$, calcula o limite quando $x \to \infty$, que vale 0, subtrai $F(1) = -1$ e informa que a integral converge para 1.

A mesma ideia vale para as assíntotas. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ converge para 2 porque $2\sqrt{x}$ tem limite finito em 0, enquanto $\int_0^1 \frac1x\,dx$ diverge porque $\ln x$ tende a $-\infty$. As duas funções explodem em zero; é a rapidez com que isso acontece que decide o resultado. Se a singularidade está no meio do intervalo, é preciso dividir a integral nesse ponto, e cada metade deve convergir separadamente.

Na reta real inteira, os dois limites de integração exigem um limite. A calculadora calcula $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ como $\arctan x$ de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ e devolve exatamente $\pi$.

Quando não há fórmula: a integração numérica

Algumas funções bem comuns têm primitivas que não se escrevem com as funções elementares. A curva em sino $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ e $\sqrt{1 + x^3}$ são exemplos clássicos. As suas integrais definidas existem mesmo assim; só é preciso calculá-las numericamente.

Nesse caso, a calculadora usa a regra de Simpson adaptativa, que ajusta parábolas em pequenos trechos da curva e subdivide onde a estimativa ainda não é precisa o bastante, buscando um erro menor que $10^{-10}$. Para $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, ela dá aproximadamente 0.7468241328 e o marca como valor aproximado numérico, para que nunca seja confundido com um valor exato.

Propriedades úteis que economizam tempo

Inverter os limites troca o sinal: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Uma integral em um intervalo de largura zero vale zero. Para uma função ímpar como $x^3$ ou $\sin x$, a integral em um intervalo simétrico $[-a, a]$ é nula e, para uma função par, vale o dobro da integral de 0 a $a$. Perceber a simetria antes de calcular pode transformar um problema trabalhoso em uma resposta de uma linha.

A integral também é linear: as constantes saem para fora e as somas se separam em integrais distintas. Junto com a aditividade em relação ao intervalo, essas propriedades permitem dividir uma região complicada em partes fáceis de tratar.