Integral definida ou integral indefinida?

A diferença em resumo

• Notação: indefinida $\int f(x)\,dx$; definida $\int_a^b f(x)\,dx$, com um limite inferior $a$ e um limite superior $b$.
• Resultado: a indefinida dá uma função mais uma constante; a definida dá um número.
• Significado: a indefinida responde à pergunta “que funções têm esta derivada?”; a definida, a “quanto se acumula entre $a$ e $b$?”.
• Constante: a indefinida exige $+ C$; em uma integral definida, a constante se cancela.
• Conferência: derive o resultado de uma indefinida para recuperar o integrando; estime o de uma definida a partir de um gráfico ou com retângulos.

Se as integrais são novidade para você, comece por o que é uma integral, que constrói as duas ideias desde o começo.

Integrais indefinidas: famílias de primitivas

A integral indefinida de $f$ é o conjunto de todas as funções cuja derivada é $f$. Como somar uma constante não muda a derivada, o resultado é sempre uma família de curvas, cada uma deslocada verticalmente em relação às outras:

Para escolher um membro da família, é preciso uma informação extra, geralmente um valor conhecido. Fala-se então de problema de valor inicial.

A física usa isso o tempo todo. Se a aceleração é constante e igual a $-9.8$ m/s², uma primeira integração dá a velocidade $v(t) = -9.8t + v_0$, e uma segunda, a altura $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. As duas constantes são a velocidade inicial e a altura inicial.

Integrais definidas: números vindos de limites de somas

Uma integral definida é definida como um limite de somas de Riemann e representa a área com sinal entre o gráfico e o eixo das abscissas de $a$ até $b$. O teorema fundamental do cálculo fornece o atalho para calculá-la:

Usar $F + C$ em vez de $F$ não muda nada, porque $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Por isso se dispensa a constante.

Propriedades das integrais definidas

Somas e constantes multiplicativas passam pelo sinal de integral, como acontece com as derivadas. A simetria pode poupar muito trabalho: se $f$ é ímpar, isto é, $f(-x) = -f(x)$, então $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Por exemplo, $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, porque as metades negativa e positiva se compensam. Se $f$ é par, $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, logo $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

O valor médio de $f$ em $[a, b]$ é $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Para $x^2$ em $[0, 3]$, ele vale $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: um retângulo de altura 3 e largura 3 tem a mesma área que a região sob a parábola.

A substituição não funciona do mesmo jeito

Em uma integral indefinida, você faz a substituição, integra e depois volta à variável original. Em uma integral definida, você pode trocar os limites para que correspondam à nova variável e nunca precisar voltar.

Um erro comum é passar para $u$ mantendo os limites antigos em $x$. Ou você troca os limites, ou volta para $x$ antes de avaliar, mas nunca um pouco de cada.

Onde elas se encontram: as funções de acumulação

Uma integral definida cujo limite superior varia é uma função: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. É uma primitiva específica de $f$, aquela que vale 0 em $x = a$. Por exemplo, $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

A primeira parte do teorema fundamental diz que $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. Assim, $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, mesmo que essa integral não tenha fórmula usual. Se o limite superior for ele próprio uma função, a regra da cadeia acrescenta um fator: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. As regras de derivação estão resumidas em as regras de derivação explicadas.

Integrais impróprias

Uma integral definida em um intervalo infinito, ou de uma função que tende ao infinito dentro do intervalo, é chamada de imprópria e é definida como um limite. Por exemplo:

Uma região infinitamente longa pode, então, ter área finita. Já $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ cresce sem limite: ela diverge. Essa comparação é a base do teste da integral apresentado em testes de convergência de séries.

Qual das duas o enunciado pede?

Veja se o sinal de integral tem limites, ou procure expressões como “de… até”, “entre”, “total”, “área” ou “quanto”. Elas indicam uma integral definida e uma resposta numérica. Expressões como “ache uma função”, “solução geral” ou “primitiva” indicam uma integral indefinida com $+ C$. Um enunciado que dá um valor inicial, como $f(0) = 2$, pede uma integral indefinida seguida do cálculo de $C$.

Use a calculadora de integrais para integrais indefinidas passo a passo, e a calculadora de integrais definidas para avaliá-las em um intervalo, inclusive integrais impróprias.

Uma comparação detalhada com uma única função

Ver os dois tipos de integral aplicados à mesma função torna o contraste concreto. Considere a função que dá a vazão de água entrando em um tanque, em litros por minuto, e suponha que ela valha $4t + 2$ depois de $t$ minutos.

A integral indefinida, $2t^2 + 2t + C$, descreve a quantidade de água no tanque em qualquer momento, mas apenas a menos de uma quantidade inicial desconhecida. Se o tanque tinha 10 litros no início, então $C = 10$ e o volume depois de $t$ minutos é $2t^2 + 2t + 10$ litros. É uma função que pode ser avaliada em qualquer instante.

A integral definida de $t = 0$ a $t = 5$ responde a outra pergunta: quanta água entrou durante esses cinco minutos? Ela vale $(50 + 10) - 0 = 60$ litros, qualquer que seja a quantidade de água presente no início. A primeira resposta é uma fórmula para um estado; a segunda, um único número para uma variação. A maioria dos problemas concretos se encaixa claramente em um desses dois tipos assim que você se pergunta se o enunciado quer uma quantidade em um instante ou um total em um intervalo.

Erros comuns com cada tipo

Nas integrais indefinidas, o erro mais comum é esquecer a constante. Pode parecer bobagem, mas em um problema de valor inicial isso elimina justamente o que pedem para você achar, e nas equações diferenciais esconde toda uma família de soluções. Outro erro é esquecer de reescrever o resultado em função da variável original depois de uma substituição.

Nas integrais definidas, os erros típicos são subtrair na ordem errada, misturar limites antigos e novos depois de uma substituição e interpretar uma área com sinal como área total. Outra armadilha: integrar de uma vez através de um ponto em que a função não está definida, como $\frac{1}{x^2}$ de $-1$ a 1. Aplicar a fórmula às cegas dá $-2$, o que é impossível para uma função positiva; na verdade, a integral diverge, porque a função tende ao infinito em 0. Confira sempre se o integrando é contínuo em todo o intervalo antes de usar o teorema fundamental.

Como as duas ideias se encaixam

Ajuda ver a integral indefinida como a ferramenta e a integral definida como o trabalho. Achar uma primitiva é a etapa difícil e criativa; uma vez que você a tem, qualquer integral definida dessa função em qualquer intervalo sai de uma subtração. É por isso que os livros dedicam tanto tempo às técnicas de cálculo de primitivas, e por isso uma única primitiva bem encontrada pode responder de uma vez a toda uma série de perguntas sobre áreas, distâncias e acumulação.

Perguntas frequentes