O que é uma integral? Uma explicação para iniciantes

Integrar é somar

Se um carro anda à velocidade constante de 60 km por hora durante 2 horas, ele percorre $60 \times 2 = 120$ km. Em um gráfico de velocidade em função do tempo, essa distância é a área de um retângulo de altura 60 e largura 2. Quando a velocidade varia, a região sob a curva deixa de ser um retângulo, mas a distância continua sendo a área sob a curva da velocidade. Achar essa área é o que uma integral faz.

De modo mais geral, sempre que uma grandeza é uma taxa multiplicada por uma quantidade, como velocidade vezes tempo, densidade vezes volume ou força vezes distância, e essa taxa varia, o total é uma integral. A derivada decompõe um total em taxas; a integral reconstrói o total a partir das taxas.

Somas de Riemann: aproximar com retângulos

Para achar a área sob $f(x) = x^2$ de $x = 0$ até $x = 2$, divida o intervalo em 4 faixas de largura $0.5$. Se você usar como altura a extremidade direita de cada faixa, obterá retângulos de alturas $f(0.5)$, $f(1)$, $f(1.5)$ e $f(2)$:

Se usar as extremidades esquerdas, obterá $0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 1.75$. A área real fica entre esses dois valores. Conforme o número de faixas $n$ aumenta, as duas somas se aproximam de um mesmo valor, e esse limite é a integral definida:

O sinal de integral é um S alongado, de “soma”; $f(x)$ é a altura e $dx$ representa a largura infinitamente fina. Para $x^2$ em $[0, 2]$, o limite vale exatamente $\frac{8}{3} \approx 2.667$. A noção de limite, explicada no nosso guia de limites, é o que transforma uma aproximação em valor exato.

Área com sinal

Onde o gráfico passa abaixo do eixo das abscissas, $f(x)$ é negativa: os retângulos contribuem então negativamente. A integral definida mede, portanto, uma área com sinal: a área acima do eixo menos a área abaixo.

Por exemplo, $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, porque o arco acima do eixo entre 0 e $\pi$ compensa exatamente o que fica abaixo entre $\pi$ e $2\pi$. Cada arco tem área 2, então a área geométrica total é 4. Para obter a área total, divida o intervalo onde a função muda de sinal e some os valores absolutos de cada parte.

Primitivas e integral indefinida

Uma primitiva, ou antiderivada, de $f$ é uma função $F$ cuja derivada é $f$. Como $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$, a função $x^3$ é uma primitiva de $3x^2$. Também o é $x^3 + 7$, ou $x^3$ mais qualquer constante, já que a derivada de uma constante é zero. A integral indefinida reúne todas elas:

Cada regra básica de derivação, lida ao contrário, dá uma regra de integração:

O teorema fundamental do cálculo

Os dois sentidos da integral, uma área obtida como limite de somas e uma família de primitivas, estão ligados pelo teorema fundamental do cálculo. Sua forma prática diz que, se $F$ é uma primitiva qualquer de uma função contínua $f$, então:

Isso é notável: uma soma infinita de retângulos se reduz a dois valores de uma função. A outra parte do teorema diz que a função área acumulada $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ tem derivada $f(x)$: integração e derivação se desfazem mutuamente.

A diferença entre os dois tipos de integral é estudada com mais detalhe em integrais definidas e indefinidas.

Duas técnicas além das regras básicas

A integração não tem uma regra do produto nem uma regra da cadeia que funcionem mecanicamente em todos os casos: algumas técnicas, então, invertem essas regras de derivação.

Aplicações

• Distância a partir da velocidade: se $v(t) = 3t^2$ m/s, o deslocamento nos 2 primeiros segundos vale $\int_0^2 3t^2\,dt = 8$ m.
• Área entre duas curvas: entre $y = x$ e $y = x^2$ em $[0, 1]$, a área vale $\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
• Valor médio: o valor médio de $f$ em $[a, b]$ é $\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx$.
• Probabilidade: as áreas sob uma curva de densidade dão probabilidades, como na curva da distribuição normal em que se baseiam os escores z.
• Volumes, o trabalho de uma força variável, o custo total a partir do custo marginal e os centros de massa são todos integrais.

Erros comuns

• Esquecer o $+ C$ em uma integral indefinida.
• Aplicar a regra da potência a $\frac{1}{x}$, o que equivaleria a dividir por zero; sua primitiva é $\ln|x|$.
• Achar que $\int f g\,dx$ é igual a $\int f\,dx \cdot \int g\,dx$.
• Interpretar uma integral definida como área total quando parte do gráfico está abaixo do eixo.
• Calcular $F(a) - F(b)$ em vez de $F(b) - F(a)$.

A calculadora de integrais acha primitivas mostrando cada passo, e a calculadora de integrais definidas avalia integrais em um intervalo e dá o valor numérico.

Por que o teorema fundamental faz sentido

Voltemos ao carro. Suponha que $s(t)$ seja a posição dele e $v(t) = s'(t)$ a velocidade. Somar a velocidade em intervalos de tempo minúsculos ao longo de toda a viagem dá a variação total da posição, isto é, a posição final menos a inicial. Em símbolos, $\int_a^b v(t)\,dt = s(b) - s(a)$, que é exatamente o teorema, com $s$ no papel de primitiva.

Visto assim, o teorema é quase senso comum: somar todas as pequenas variações de uma grandeza dá a sua variação total. O que o torna tão poderoso é que ele transforma cálculos difíceis de limites em uma simples subtração, desde que se saiba achar uma primitiva.

Integração numérica

Quando não dá para escrever uma primitiva, ou quando a função só é conhecida por medições, as integrais são estimadas numericamente. As melhores estimativas usam figuras mais adequadas do que retângulos. A regra dos trapézios tira a média das somas à esquerda e à direita; para $x^2$ em $[0, 2]$ com 4 faixas, ela dá $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. A regra do ponto médio usa a altura no centro de cada faixa e dá $0.5\,(0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625) = 2.625$. As duas chegam muito mais perto do valor exato $2.667$ do que qualquer uma das somas laterais.

A regra de Simpson, que ajusta parábolas a grupos de três pontos, é exata para esta função e para qualquer polinômio de grau três. Os softwares usam versões refinadas dessas ideias para calcular integrais com muitas casas decimais em uma fração de segundo.

Um pouco de história

Calcular áreas somando faixas finas é uma ideia antiga. Arquimedes calculou a área de um segmento de parábola há mais de dois mil anos com um método muito próximo de um limite. O grande avanço do século dezessete, atribuído a Newton e Leibniz, foi o teorema fundamental, que mostrou que as áreas podiam ser obtidas invertendo a derivação. Bernhard Riemann deu às somas sua definição rigorosa moderna no século dezenove, daí o nome delas.

Perguntas frequentes