O que é uma derivada? Uma introdução clara

Da taxa de variação média à taxa instantânea

Se um carro percorre 120 km em 2 horas, sua velocidade média é de 60 km por hora. Esse número não diz nada sobre o que o velocímetro marcava em um dado momento, que pode ter indicado 0 em um semáforo vermelho ou 100 na rodovia. A derivada é a versão matemática da leitura do velocímetro: a taxa de variação em um instante, e não ao longo de um intervalo.

Para qualquer função $f$, a taxa de variação média entre $x$ e $x + h$ é a inclinação da reta que passa por esses dois pontos do gráfico, chamada reta secante:

Para obter a taxa instantânea, encolhe-se o intervalo. Quando $h$ tende a 0, a secante gira até virar a tangente, a reta que apenas toca o gráfico no ponto. O limite das inclinações das secantes é a derivada.

A definição formal

A derivada de $f$ em $x$ é

quando esse limite existe. Diz-se então que $f$ é derivável em $x$. Não dá para simplesmente fazer $h = 0$ na fração, porque se obtém $\frac{0}{0}$. Em vez disso, simplifica-se algebricamente até o $h$ do denominador sumir e só então se calcula o limite. Se limites são novidade para você, nosso guia de limites explica a ideia primeiro.

Notações

Várias notações convivem, e todas indicam a mesma coisa. A notação de Lagrange, com uma linha, escreve $f'(x)$. A notação de Leibniz escreve $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}f(x)$, o que lembra que uma derivada é um quociente de pequenas variações e torna natural a regra da cadeia. Na física, a derivada em relação ao tempo costuma ser indicada com um ponto, $\dot{x}$.

Derivar duas vezes dá a derivada segunda, indicada por $f''(x)$ ou $\frac{d^2y}{dx^2}$. Se $s(t)$ é a posição, então $s'(t)$ é a velocidade e $s''(t)$ a aceleração.

O que a derivada diz sobre um gráfico

• Onde $f'(x) > 0$, a função é crescente.
• Onde $f'(x) < 0$, ela é decrescente.
• Onde $f'(x) = 0$, a tangente é horizontal; os máximos e mínimos locais ficam nesses pontos (ou onde $f'$ não existe).
• Onde $f''(x) > 0$, o gráfico tem concavidade para cima, como uma xícara; onde $f''(x) < 0$, a concavidade é para baixo.

As regras que deixam esse trabalho rápido, como a regra da potência usada aqui, estão em as regras de derivação explicadas.

Um exemplo físico: uma pedra em queda

Uma pedra solta a partir do repouso percorre uma distância $s(t) = 4.9t^2$ metros depois de $t$ segundos, desprezando a resistência do ar. Entre $t = 1$ e $t = 3$, ela passa de 4,9 m para 44,1 m: sua velocidade média vale, portanto, $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Sua velocidade instantânea é a derivada, $s'(t) = 9.8t$ m/s. Em $t = 2$, ela vale 19,6 m/s, exatamente a média no intervalo de 1 a 3 segundos; para uma função do segundo grau, a taxa média em um intervalo é sempre igual à taxa instantânea no ponto médio. A derivada segunda, $s''(t) = 9.8$ m/s², é a aceleração constante da gravidade.

As unidades são um bom teste para qualquer derivada. A derivada de uma grandeza em metros em relação ao tempo em segundos é medida em metros por segundo. Em economia, a derivada do custo total em reais em relação à quantidade produzida é o custo marginal, em reais por unidade.

Quando a derivada não existe

Uma função não é derivável em um ponto se o limite da razão incremental não existe ali. Em um gráfico, isso aparece de quatro maneiras:

• Um bico, como $|x|$ em 0, onde a inclinação vale $-1$ à esquerda e $+1$ à direita.
• Uma cúspide, como $x^{2/3}$ em 0, onde as inclinações ficam infinitamente íngremes em sentidos opostos.
• Uma tangente vertical, como $\sqrt[3]{x}$ em 0, onde a inclinação é infinita.
• Uma descontinuidade, como um salto ou um buraco.

Derivabilidade implica continuidade: se $f'(a)$ existe, $f$ é contínua em $a$. A recíproca é falsa, como mostra $|x|$, contínua em todo ponto mas com um bico em 0.

Estimar uma derivada numericamente

Quando não se tem uma fórmula, por exemplo com dados medidos, dá para estimar a derivada com um passo pequeno. A diferença centrada costuma ser mais precisa do que a versão de um lado só:

Para $f(x) = \sin x$ em $x = 0$ com $h = 0.01$, obtém-se $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, muito perto do valor exato $\cos 0 = 1$. Calculadoras gráficas e planilhas usam esse tipo de estimativa. Já a calculadora de derivadas deriva de forma simbólica e mostra cada regra aplicada, e a calculadora de limites avalia diretamente a definição por limites.

Para que servem as derivadas

Toda pergunta do tipo “com que rapidez” ou “qual é o melhor valor” é uma pergunta de derivada. Engenheiros acham as dimensões de uma embalagem que gasta menos material igualando a zero a derivada da sua área. Economistas acham o nível de produção que maximiza o lucro, aquele em que a receita marginal é igual ao custo marginal. Médicos modelam como a concentração de um remédio no sangue varia com o tempo, e a derivada indica quando ela atinge o pico.

O aprendizado de máquina depende de derivadas em escala gigantesca. Treinar um modelo é ajustar milhões de parâmetros para reduzir uma medida de erro, e a direção em que cada parâmetro se move é dada por uma derivada, em um método chamado descida do gradiente. A física se escreve quase inteiramente com derivadas: a segunda lei de Newton diz que a força é igual à massa vezes a derivada segunda da posição.

Um pouco de história

Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial de forma independente, na segunda metade do século dezessete. Newton pensava em grandezas que fluem no tempo, enquanto Leibniz trabalhava com diferenças infinitamente pequenas, e sua notação $\frac{dy}{dx}$ é a que a maioria dos livros usa hoje. Os métodos dos dois funcionavam muito bem, mas se apoiavam em ideias vagas de números infinitamente pequenos. A definição rigorosa por limites usada neste artigo foi construída no século dezenove, sobretudo graças a Augustin-Louis Cauchy e Karl Weierstrass, e finalmente deu ao assunto fundamentos sólidos.

Perguntas frequentes