Limites no cálculo: guia prático

A ideia de limite

Considere $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Em $x = 3$, a fórmula dá $\frac{0}{0}$: $f(3)$ não está definida. Mesmo assim, se você calcular $f$ em 2,9; 2,99; 3,01 e 3,1, obterá 5,9; 5,99; 6,01 e 6,1. Os resultados se aproximam de 6. Diz-se que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a 3 é 6, e escreve-se:

O valor da função no próprio ponto não influi no limite. Só importa o que acontece ao redor. Graficamente, o gráfico de $f$ é a reta $y = x + 3$ sem o ponto $(3, 6)$, e o limite é a altura desse buraco.

De modo informal, $\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ pode ficar tão perto de $L$ quanto se queira, tomando $x$ suficientemente perto de $a$, mas diferente dele. A versão rigorosa dessa frase, a definição épsilon-delta, a transforma em um enunciado que pode ser demonstrado.

Método 1: substituição direta

Polinômios, funções racionais cujo denominador não se anula, raízes, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas são contínuos em seu domínio. Para uma função contínua, o limite é simplesmente o valor da função: basta substituir.

Por exemplo, $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$, e $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Tente sempre a substituição primeiro. Se ela der um número real, acabou. Se der um número não nulo dividido por zero, o limite é infinito ou não existe. Só $\frac{0}{0}$ e as outras indeterminações do mesmo tipo pedem mais trabalho.

Método 2: fatorar e simplificar

Se a substituição em uma função racional dá $\frac{0}{0}$, o numerador e o denominador têm o fator comum $(x - a)$. Fatore os dois, simplifique e substitua de novo.

A simplificação é permitida porque o limite nunca usa o valor no próprio $x = a$. O guia de fatoração apresenta as técnicas necessárias aqui.

Método 3: multiplicar pelo conjugado

Quando a indeterminação $\frac{0}{0}$ vem de uma raiz quadrada, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado, que elimina a raiz graças ao produto notável da diferença de dois quadrados.

Limites laterais, e quando um limite não existe

Um limite lateral considera apenas os valores vindos de um lado: $x \to a^-$ para o limite à esquerda e $x \to a^+$ para o limite à direita. O limite existe somente quando os dois limites laterais existem e são iguais.

Para $f(x) = \frac{|x|}{x}$, todo valor positivo dá 1 e todo valor negativo dá $-1$. Assim, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ e $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Eles são diferentes, então $\lim_{x \to 0} f(x)$ não existe. As funções definidas por partes são a causa mais comum desse comportamento: confira sempre os dois lados no ponto em que a definição muda.

Um limite também pode não existir porque a função oscila. Quando $x \to 0$, $\sin\frac{1}{x}$ oscila entre $-1$ e 1 infinitas vezes e não se estabiliza em nenhum valor.

Limites infinitos e limites no infinito

Se uma função cresce sem limitação perto de $a$, escreve-se que o limite é $\infty$, como em $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. A rigor, o limite não existe como número, mas a notação diz de que maneira ele falha, e indica uma assíntota vertical de equação $x = a$.

Os limites quando $x \to \infty$ descrevem o comportamento a longo prazo e as assíntotas horizontais. Para uma função racional, divida cada termo pela maior potência de $x$ do denominador:

Se o denominador tiver grau maior, o limite é 0; por exemplo, $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Se for o numerador, a função cresce sem limitação. Um limite no infinito famoso define uma constante: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Limites trigonométricos fundamentais e teorema do confronto

Dois limites estão na base de todas as derivadas trigonométricas:

Nos dois casos, a substituição dá $\frac{0}{0}$, e só a álgebra não desfaz a indeterminação. Numericamente, $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ e $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, o que sugere o resultado, e um argumento geométrico usando o teorema do confronto o demonstra. O ângulo precisa estar em radianos.

O teorema do confronto, também chamado teorema do sanduíche, afirma que se $g(x) \le f(x) \le h(x)$ perto de $a$ e $g$ e $h$ tendem ambas a $L$, então $f$ também tende a $L$. Por exemplo, $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, e as duas cotas tendem a 0, logo $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$, embora $\sin\frac{1}{x}$ sozinha não tenha limite.

A regra de L'Hôpital

Quando um limite tem a forma $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ e as funções são deriváveis perto do ponto, pode-se trocar o numerador e o denominador por suas derivadas: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, desde que o novo limite exista.

Derive o numerador e o denominador separadamente. A regra de L'Hôpital não é a regra do quociente, e só se aplica a indeterminações.

Limites, continuidade e derivadas

Uma função é contínua em $a$ quando $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: o limite existe, a função está definida nesse ponto e os dois valores coincidem. A própria derivada é um limite, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, que sempre começa na forma $\frac{0}{0}$; veja o que é uma derivada. As integrais e a convergência de séries também se definem por meio de limites.

A calculadora de limites calcula limites laterais e bilaterais, incluindo limites no infinito, e indica o método usado. Para conferir um limite visualmente, a calculadora gráfica permite dar zoom ao redor do ponto.

Propriedades dos limites

Os limites se comportam bem com as operações. Se $\lim f(x)$ e $\lim g(x)$ existem, o limite da soma é a soma dos limites, o limite do produto é o produto dos limites e o limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador não seja zero. Múltiplos por constante e potências funcionam do mesmo jeito. Essas propriedades explicam por que a substituição direta funciona para funções contínuas: um polinômio se constrói com somas e produtos de $x$ e constantes, e seu limite se constrói, portanto, do mesmo modo.

As propriedades exigem que os dois limites existam separadamente. O limite de $x\sin\frac{1}{x}$ em 0 vale 0, mas não dá para obtê-lo multiplicando limites, pois $\sin\frac{1}{x}$ não tem limite nesse ponto. Em casos assim, é preciso recorrer ao teorema do confronto.

Uma estratégia que serve para a maioria dos problemas

1. Substitua. Se obtiver um número real, essa é a resposta.
2. Número não nulo dividido por zero: estude o sinal de cada lado para decidir entre $\infty$, $-\infty$ ou a inexistência do limite.
3. Zero sobre zero com polinômios: fatore e simplifique.
4. Zero sobre zero com raízes quadradas: multiplique pelo conjugado.
5. Zero sobre zero com funções trigonométricas: reescreva usando $\frac{\sin x}{x} \to 1$.
6. Limites no infinito: divida pela maior potência do denominador.
7. Se a álgebra travar, aplique a regra de L'Hôpital ou confira numericamente com valores dos dois lados.

Exercícios resolvidos: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$, fatorando a diferença de dois cubos. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$, escrevendo-o como $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$, dividindo tudo por $x$.

Perguntas frequentes