Testes de convergência de séries, com uma estratégia para escolher

Séries, somas parciais e convergência

Uma série é uma soma de infinitos termos, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, indicada por $\sum a_n$. Não dá para somar infinitos números diretamente: somam-se então os $N$ primeiros para obter a soma parcial $S_N$, e estuda-se o que acontece quando $N$ cresce. Se as somas parciais tendem a um limite finito $S$, a série converge e sua soma é $S$. Caso contrário, ela diverge.

Somar infinitos números positivos pode dar um total finito. A série $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ tem somas parciais $0.5$, $0.75$, $0.875$ e assim por diante, cada uma a meio caminho entre a anterior e 1: a soma é, portanto, exatamente 1. Imagine que você anda em direção a uma parede e que cada passo cobre metade da distância que falta: você dá infinitos passos, mas nunca percorre mais do que a distância inicial. Todo o assunto se apoia nos limites, aplicados à sequência das somas parciais.

Séries geométricas

Uma série geométrica multiplica sempre pela mesma razão $r$. É um dos poucos tipos de série cuja soma exata se pode escrever:

Se $|r| \ge 1$, os termos não tendem a zero e a série diverge. Por exemplo, $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ tem primeiro termo $a = 3$ e razão $r = \frac{1}{3}$, logo sua soma vale $\frac{3}{2/3} = 4.5$. As dízimas periódicas são séries geométricas disfarçadas: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

O teste do termo geral

Se os termos $a_n$ não tendem a 0, a série diverge (por isso ele também é chamado de teste da divergência). Essa deve ser sempre a sua primeira verificação, porque leva segundos. Por exemplo, $\sum\frac{n}{n + 1}$ diverge, já que seus termos tendem a 1: você soma quase 1 indefinidamente.

A recíproca é falsa, e esse é o mal-entendido mais comum sobre séries. Termos que tendem a zero não garantem convergência. A série harmônica $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ tem termos que tendem a 0 e mesmo assim diverge. Agrupe seus termos: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, os quatro termos seguintes passam de $\frac{1}{2}$, os oito seguintes também passam de $\frac{1}{2}$, e assim por diante. Somar infinitas metades dá um total ilimitado. O crescimento, porém, é muito lento: o primeiro milhão de termos soma só cerca de 14,4.

Séries p e o teste da integral

Uma série p, também chamada de série de Riemann, tem a forma $\sum\frac{1}{n^p}$. Seu comportamento depende apenas de $p$:

Assim, $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, e sua soma é o famoso $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, enquanto $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge. A demonstração usa o teste da integral: se $f$ é positiva, contínua e decrescente com $f(n) = a_n$, então $\sum a_n$ e $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ têm o mesmo comportamento, convergindo as duas ou divergindo as duas. Como $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ é finita e $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ é infinita, chega-se aos dois casos-chave. Essas integrais impróprias são calculadas em integral definida e integral indefinida.

Testes de comparação

Os testes de comparação decidem sobre uma série relacionando-a com outra que já conhecemos, geralmente uma série geométrica ou uma série p. Para séries de termos positivos:

• Comparação direta: se $0 \le a_n \le b_n$ e $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ também converge. Se $a_n \ge b_n \ge 0$ e $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ também diverge.
• Comparação no limite: se $\lim\frac{a_n}{b_n}$ é um número estritamente positivo e finito, as duas séries têm o mesmo comportamento.

Para escolher a série de comparação, mantenha só a maior potência de $n$ no numerador e no denominador. O que sobra indica com qual série p ou geométrica comparar.

Testes da razão e da raiz

O teste da razão, ou critério de d’Alembert, compara cada termo com o anterior. Seja $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Se $L < 1$, a série converge absolutamente; se $L > 1$, ela diverge; e se $L = 1$, o teste é inconclusivo. É a escolha natural para séries com fatoriais ou potências como $2^n$.

O teste da raiz, ou critério de Cauchy, usa $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ com as mesmas conclusões, e serve para termos elevados à potência $n$. Para $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$, a raiz de índice $n$ vale $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$, então a série converge.

Séries alternadas

Uma série alternada troca de sinal a cada termo. O teste da série alternada, ou critério de Leibniz, diz que, se os valores absolutos dos termos decrescem e tendem a 0, a série converge. A série harmônica alternada $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ converge, portanto, e sua soma vale $\ln 2 \approx 0.6931$.

Há ainda uma vantagem: o erro cometido ao parar em qualquer termo não passa do primeiro termo desprezado. Assim, parando a série harmônica alternada depois de 99 termos, obtém-se $\ln 2$ com erro menor que $\frac{1}{100}$.

Uma série converge absolutamente se $\sum|a_n|$ converge, e é condicionalmente convergente se só converge graças à compensação dos sinais. A série harmônica alternada é condicionalmente convergente, já que sem os sinais ela é a série harmônica, que diverge. A convergência absoluta é a propriedade mais forte: reordenar os termos de uma série absolutamente convergente nunca muda sua soma, enquanto uma série condicionalmente convergente pode ser reordenada para ter qualquer soma.

Uma estratégia para escolher o teste

1. Os termos tendem a 0? Se não, a série diverge.
2. É uma série geométrica ou uma série p? Aplique a regra conhecida.
3. Tem fatoriais ou potências com expoente $n$ como $3^n$? Use o teste da razão.
4. O termo inteiro está elevado à potência $n$? Use o teste da raiz.
5. É uma fração racional em $n$ ou algo parecido? Use a comparação no limite com uma série p.
6. Os sinais alternam? Use o teste da série alternada e depois verifique a convergência absoluta.
7. O termo é uma função fácil de integrar? Pense no teste da integral.

A calculadora de convergência de séries aplica esses testes, indica qual deles permite concluir e estima a soma. As séries de potências, cujos termos contêm $x$, são tratadas do mesmo modo: o teste da razão dá um raio de convergência e as extremidades são estudadas separadamente, e é assim que se obtêm os intervalos do nosso guia de séries de Taylor.

Séries telescópicas e exercícios

Uma série telescópica é aquela cujas somas parciais se simplificam porque termos vizinhos se cancelam. Escrever $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ mostra que a soma parcial $S_N$ vale $1 - \frac{1}{N + 1}$, que tende a 1. Identificar um padrão telescópico, muitas vezes graças a frações parciais, dá a soma exata em vez de uma simples resposta de sim ou não.

Teste o que aprendeu com estas séries antes de olhar as soluções: $\sum\frac{5}{4^n}$ é geométrica de razão um quarto e converge; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ diverge pelo teste do termo geral, porque seus termos tendem a 1; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ converge como série p com $p > 1$; $\sum\frac{3^n}{n!}$ converge pelo teste da razão; e $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ é condicionalmente convergente, já que o teste da série alternada se aplica, mas a série dos valores absolutos é uma série p divergente.

Perguntas frequentes