Séries de Taylor: aproximar funções por polinômios

A ideia: fazer as derivadas coincidirem

Os polinômios são as funções mais simples de manipular. Podem ser calculados só com somas e multiplicações, e derivá-los ou integrá-los é rotina. Funções como $e^x$, $\sin x$ e $\ln x$ são bem mais difíceis de calcular à mão. A ideia de uma série de Taylor é encontrar um polinômio que se comporte como a função perto de um ponto escolhido $a$.

A reta que melhor acompanha a curva em um ponto é a reta tangente, que ali tem o mesmo valor e a mesma derivada primeira que a função. Uma parábola pode, além disso, ter a mesma derivada segunda, de modo que acompanha a curvatura do gráfico. Uma cúbica pode ter também a mesma derivada terceira, e assim por diante. Cada derivada a mais que coincide faz o polinômio grudar na função em uma região maior em torno do ponto. Continuando indefinidamente, obtém-se a série de Taylor.

A fórmula da série de Taylor

Exigir que a derivada de ordem $n$ do polinômio em $a$ seja igual a $f^{(n)}(a)$ obriga o coeficiente de $(x - a)^n$ a ser $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. O fatorial aparece porque derivar $(x - a)^n$ ao todo $n$ vezes dá $n!$. A série completa se escreve:

Quando $a = 0$, a série se chama série de Maclaurin, e as potências são simplesmente $x^n$. O polinômio formado pelos termos até $(x - a)^n$ é o polinômio de Taylor de grau $n$, indicado por $P_n(x)$. Os dois primeiros termos sozinhos formam a aproximação pela reta tangente, também chamada de aproximação linear.

Construindo a série da exponencial

Tomando $x = 1$, obtém-se uma fórmula famosa para a própria constante: $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots$, que chega a 2,71828 depois de uma dúzia de termos, porque os fatoriais crescem muito depressa.

As expansões que vale a pena saber

Estas séries de Maclaurin aparecem o tempo todo, e quase todas as outras podem ser obtidas delas por substituição, multiplicação, derivação ou integração:

O seno só tem potências ímpares, o que combina com o fato de ser uma função ímpar, e o cosseno só tem potências pares, de acordo com sua simetria. Derivando termo a termo a série do seno, obtém-se a do cosseno, exatamente como a derivada de $\sin x$ deve ser $\cos x$.

Para conferir, $\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.001}{6} = 0.0998333$, enquanto o valor exato é $0.0998334$. Dois termos já dão seis casas decimais corretas: é por isso que as calculadoras conseguem avaliar tão rápido as funções trigonométricas com polinômios curtos.

Expandir em torno de um ponto diferente de zero

Escolher $a$ perto do valor que interessa faz a aproximação convergir muito mais rápido. Para estimar $\sqrt{4.1}$, expanda $\sqrt{x}$ em torno de $a = 4$, onde a raiz quadrada é imediata.

Qual é o tamanho do erro?

O teorema de Taylor dá o erro de um polinômio de Taylor. Se $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ e $x$, então o resto depois do termo de grau $n$ satisfaz:

Para $e^{0.5}$ com $n = 3$, a derivada quarta vale $e^t \le e^{0.5} < 2$ no intervalo, logo o erro é no máximo $\frac{2(0.5)^4}{24} \approx 0.0052$. O erro real, $0.0029$, respeita essa cota. Ela também serve no sentido inverso: diz quantos termos são necessários para garantir uma precisão dada antes mesmo de começar as contas.

Para séries alternadas, como as do seno e do cosseno, há uma estimativa ainda mais simples: o erro não passa do primeiro termo desprezado. As ideias por trás dessa regra são tratadas em testes de convergência de séries.

Onde a série converge

Uma série de Taylor nem sempre coincide com a sua função em todo lugar. A série geométrica de $\frac{1}{1 - x}$ só funciona para $|x| < 1$; em $x = 2$, o lado esquerdo vale $-1$, enquanto os termos da série crescem sem limite. O conjunto dos valores de $x$ para os quais uma série converge é um intervalo centrado em $a$, e sua meia largura é o raio de convergência. Em geral, ele é determinado com o teste da razão.

As séries de $e^x$, $\sin x$ e $\cos x$ convergem para todo $x$ real. A série de $\ln(1 + x)$ converge para $-1 < x \le 1$; em $x = 1$, ela dá o resultado surpreendente $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$, embora convirja muito devagar.

Para que servem as séries de Taylor

• Calcular funções: calculadoras e softwares usam aproximações polinomiais muito parecidas com os polinômios de Taylor.
• Limites: trocar $\sin x$ por $x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ mostra que $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$ sem usar a regra de L'Hôpital.
• Integrais sem primitiva usual: integrar termo a termo a série de $e^{-x^2}$ dá $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \approx 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} \approx 0.7475$, muito perto do valor exato $0.7468$.
• Física: a aproximação para ângulos pequenos $\sin\theta \approx \theta$ usada no pêndulo é o primeiro termo da série do seno.
• A fórmula de Euler $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$, obtida comparando as três séries.

A calculadora de séries de Taylor expande qualquer função até a ordem que você quiser em torno de qualquer ponto e mostra cada derivada. Saber derivar é indispensável aqui, então as regras de derivação explicadas são um bom complemento.

O método para qualquer polinômio de Taylor

1. Escolha o centro $a$: um ponto perto de onde você precisa dos valores, em que a função e suas derivadas sejam fáceis de calcular.
2. Derive a função quantas vezes o grau desejado pedir e simplifique cada derivada.
3. Calcule cada derivada em $a$.
4. Divida o valor de ordem $n$ por $n!$ para obter cada coeficiente.
5. Escreva o polinômio com potências de $(x - a)$, e não de $x$, a não ser que $a = 0$.
6. Confira o primeiro coeficiente: $P_n(a)$ deve ser igual a $f(a)$, e a inclinação de $P_n$ em $a$ deve ser igual a $f'(a)$.

Muitas vezes é mais rápido construir uma série nova a partir de uma conhecida do que derivar várias vezes. Por exemplo, trocar $x$ por $-x^2$ na série de $e^x$ dá diretamente $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \cdots$, e multiplicar a série do seno por $x$ dá a de $x\sin x$.

Visualizando as aproximações em um gráfico

Trace $\cos x$ junto com seus polinômios de Taylor de grau 2, 4 e 6, e surge um padrão claro. O de grau 2, uma parábola com concavidade para baixo, acompanha bem a curva do cosseno perto de zero, mas se afasta dela depois de mais ou menos uma unidade. O de grau 4 fica perto por mais tempo, e o de grau 6 segue a curva em quase toda a sua primeira ondulação. Todo polinômio acaba indo para o infinito, porque nenhum polinômio consegue oscilar para sempre, mas, conforme se acrescentam termos, esse afastamento acontece cada vez mais longe: é exatamente isso que significa, na prática, a convergência da série.

Essa imagem é o melhor jeito de criar intuição: a aproximação é excelente perto do centro e piora com a distância. A calculadora gráfica pode traçar uma função junto com vários de seus polinômios de Taylor para você vê-los convergir.

Perguntas frequentes