Calculadora de série de Taylor

De onde vêm os coeficientes

Suponha que um polinômio $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ deva coincidir com $f$ em $a$. Fazendo $x = a$, todos os termos se anulam menos $c_0$, então $c_0 = f(a)$. Derivando uma vez e fazendo $x = a$, sobra $c_1 = f'(a)$. Derivando duas vezes, sobra $2c_2 = f''(a)$ e, em geral, $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

Essa é toda a demonstração, e ela explica os fatoriais: eles compensam as constantes que se acumulam quando se deriva $(x - a)^k$ ao todo $k$ vezes. A calculadora mostra isso como uma tabela de $f^{(k)}(a)$ e de $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ para cada $k$, a mesma tabela que você montaria à mão.

Os padrões das séries mais comuns

Para $\sin x$ em torno de 0, as derivadas percorrem o ciclo $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, que em 0 assume os valores $0, 1, 0, -1$. Todos os coeficientes das potências pares são nulos, e o polinômio de ordem 7 é $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. O cosseno, ao contrário, dá as potências pares: até a ordem 4, é $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Para $\ln x$ em torno de 1, a derivada de ordem $k$ é $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$: os coeficientes valem, portanto, $\pm\frac1k$ e a série é $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Reconhecer esses padrões permite escrever muitas séries sem calcular derivada nenhuma, e fazer substituições nelas, por exemplo trocar $x$ por $-x^2$ na série de $e^x$.

Qual é a precisão da aproximação?

A fórmula de Taylor limita o erro. O resto $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ é igual a $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ para algum $c$ entre $a$ e $x$. Duas coisas o deixam pequeno: estar perto do centro, para que $(x - a)^{n+1}$ seja minúsculo, e o fatorial no denominador, que acaba superando qualquer potência.

O exemplo da raiz quadrada mostra o primeiro efeito. O polinômio de ordem 3 de $\sqrt{x}$ em torno de 4 é $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. Em $x = 4.1$, ele dá cerca de 2.024845703 contra um valor exato de 2.024845673, ou seja, um erro próximo de $3\times10^{-8}$, porque $0.1^4$ já é muito pequeno.

Longe do centro, a situação muda. Para $\frac{1}{1-x}$, os polinômios aproximam bem em $x = 0.1$, mas não servem para nada em $x = 2$, porque a série só converge para $|x| < 1$. Em $x = 2$, o polinômio de ordem 5 dá 63, enquanto a função vale $-1$, um erro de 64 que aumenta a cada termo acrescentado. O relatório de erro da calculadora deixa isso visível: experimente a mesma função e a mesma ordem em um ponto próximo e em um ponto distante, e compare.

Escolher o centro

Escolha um centro em que a função e as suas derivadas sejam fáceis de calcular, e próximo de onde você precisa da aproximação. Expandir $\sqrt{x}$ em torno de 4 é natural, porque $\sqrt4 = 2$ exatamente. Expandir $\ln x$ em torno de 0 é impossível, porque a função não está definida ali, e expandir $|x|$ em torno de 0 falha porque ela não é derivável ali; a calculadora explica esses casos em vez de produzir um polinômio sem sentido.

Os polinômios de Taylor na prática

A aproximação para ângulos pequenos $\sin\theta \approx \theta$ é simplesmente o polinômio de Maclaurin de ordem 1 do seno, e o seu erro fica abaixo de 1 % para ângulos menores que cerca de 14 graus. A fórmula do período do pêndulo, a aproximação paraxial da óptica e a lei de Hooke das molas vêm todas de manter só o primeiro ou os dois primeiros termos de uma expansão de Taylor.

Os polinômios de Taylor também transformam problemas difíceis em fáceis. Um limite como $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ fica evidente assim que se troca $\cos x$ por $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, e uma integral sem primitiva elementar, como $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, pode ser aproximada integrando um polinômio termo a termo.