Calculadora de derivadas parciais

Sobre a calculadora de derivadas parciais

A maioria das grandezas em ciências e em economia depende de mais de uma variável. O volume de um cilindro depende do raio e da altura, o lucro de uma empresa depende do preço e dos gastos com publicidade, e a temperatura de uma sala depende das três coordenadas. Uma derivada parcial responde a uma pergunta precisa sobre uma função assim: com que rapidez o resultado muda quando só uma variável varia e todas as outras ficam fixas?

Esta calculadora obtém essas taxas de forma exata. Escreva uma função como $x^2 y + \sin(xy)$ , escolha a variável, e a calculadora deriva termo a termo com as regras da soma, da constante vezes função, da potência, do produto e da cadeia, tratando qualquer outra letra como constante. Cada regra aparece como um passo separado: assim você vê por que $y$ continua na frente de $\cos(xy)$ e por que um termo como $4y$ desaparece quando se deriva em relação a $x$ .

As derivadas de ordem superior funcionam do mesmo jeito. Digite xx para a derivada parcial segunda em $x$ , ou xy para a derivada mista que deriva primeiro em $x$ e depois em $y$ . Acrescente um ponto como x = 1, y = 2 para calcular o resultado nele. Cada resultado é conferido de forma independente antes de ser mostrado.

O que é uma derivada parcial?

Para uma função $f(x, y)$ , a derivada parcial em relação a $x$ , indicada por $\frac{\partial f}{\partial x}$ ou $f_x$ , é a derivada comum que se obtém tratando $y$ como um número fixo. Formalmente, $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . O símbolo arredondado $\partial$ indica que existem outras variáveis e que elas são mantidas constantes.

Geometricamente, o gráfico de $f(x, y)$ é uma superfície. Cortando-a pelo plano $y =$ constante, obtém-se uma curva, e $f_x$ é a inclinação dessa curva. Da mesma forma, $f_y$ é a inclinação do corte na direção de $y$ . Juntas, as derivadas parciais primeiras formam o vetor gradiente $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , que aponta na direção de maior crescimento.

As derivadas parciais aparecem em otimização (os pontos críticos são aqueles em que todas as derivadas parciais primeiras se anulam), em física (as equações do calor, da onda e de Laplace são escritas com elas), em economia (custo marginal e utilidade marginal) e em aprendizado de máquina, em que os gradientes guiam o treinamento de toda rede neural.

Como usar a calculadora de derivadas parciais

Escreva a função usando qualquer letra como variável, por exemplo x^2 y + sin(x y) ou x^3 y^2 + 4y. Um espaço ou um * entre letras indica multiplicação.
No segundo campo, digite a variável em relação à qual você quer derivar, como x ou y.
Para ordens superiores, escreva uma letra por derivação, em ordem: xx para f_xx, xy para f_xy (primeiro x, depois y), yyx e assim por diante.
Se quiser, dê um valor a cada variável, como x = 1, y = 2, para calcular a derivada nesse ponto.
Clique em Derivar e acompanhe os passos, cada um com a regra que usa.

Fórmulas

Definição

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Notação das derivadas mistas

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Teorema de Schwarz (Clairaut)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{se forem contínuas}

Vetor gradiente

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Regra da cadeia em uma derivada parcial

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Exemplo resolvido: ∂/∂x de x²y + sin(xy)

O exemplo resolvido é calculado ao vivo para $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ , derivada em relação a $x$ . Com $y$ constante, o primeiro termo é uma constante vezes $x^2$ : ele vira, portanto, $2xy$ . O segundo termo pede a regra da cadeia: a derivada de $\sin u$ é $\cos u$ vezes $\frac{\partial u}{\partial x}$ e, para $u = xy$ , essa derivada interna vale $y$ .

Somando as partes, obtém-se $2xy + y\cos(xy)$ , que a calculadora fatora como $f_x = y(2x + \cos(xy))$ . Repare que $y$ nunca é derivado; ele se comporta exatamente como o número 5 se comportaria no mesmo lugar.

A solução abaixo é gerada pelo mesmo mecanismo da calculadora acima.

Resposta final

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

Como interpretamos o seu problema

Calcular a derivada parcial de primeira ordem f_x de f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Solução passo a passo

Identificar a função e a ordem de derivação
Derivar em relação a x; todas as outras variáveis (y) são mantidas constantes.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Regra da soma: derivar cada termo separadamente
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Regra da cadeia — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Regra da constante vezes função
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Regra da constante vezes função
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Regra da potência: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Simplificar: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Fórmulas usadas

Definição
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Derivadas mistas (Schwarz)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{se ambas forem contínuas}$

Uma derivada parcial mede como f varia quando só uma variável se move: as outras variáveis são tratadas exatamente como números, então as regras de derivação usuais se aplicam.

Verificação

Conferido com um derivador simbólico independente em vários pontos de teste ✓

Explicação detalhada

Manter as outras variáveis constantes

A única ideia por trás de toda derivada parcial é que as variáveis em relação às quais não se deriva ficam congeladas. Se for difícil enxergar isso, troque-as primeiro por um número concreto. Derivar $x^3 y^2 + 4y$ em relação a $y$ equivale a derivar $8y^2 + 4y$ quando $x = 2$ : o resultado tem a forma $2 \cdot 8y + 4$ e, colocando $x^3$ de volta no lugar de 8, obtém-se $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Isso também explica quais termos desaparecem. Um termo que só contém variáveis congeladas é uma constante: a sua derivada parcial é, portanto, zero. Em $f = x^2 + 3xy$ , a derivada parcial em relação a $y$ ignora completamente $x^2$ e dá $f_y = 3x$ .

As regras de sempre continuam valendo

A derivação parcial usa exatamente as mesmas regras do cálculo de uma variável: potência, soma, constante vezes função, produto, quociente e cadeia. Só muda a contabilidade. Um produto de dois fatores que contêm $x$ pede a regra do produto quando se deriva em $x$ , mas, se um dos fatores só contém $y$ , ele é simplesmente uma constante multiplicativa.

É na regra da cadeia que mais se erra. Quando uma função se aplica a uma expressão de várias variáveis, como $e^{xy}$ ou $\ln(x^2 + y^2)$ , a derivada interna também é uma derivada parcial. Assim, $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ e $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Derivadas parciais segundas e derivadas mistas

Derivando de novo uma derivada parcial, obtém-se uma derivada parcial segunda. Uma função de duas variáveis tem quatro: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ e as derivadas mistas $f_{xy}$ e $f_{yx}$ . Os índices se leem da esquerda para a direita: $f_{xy}$ significa derivar primeiro em $x$ e depois em $y$ . A notação de fração $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ se lê da direita para a esquerda e descreve a mesma coisa.

Para $f = x^2 y^3$ , derivar em $x$ dá $2xy^3$ e depois derivar em $y$ dá $f_{xy} = 6xy^2$ , que vale 24 no ponto $(1, 2)$ . Derivar na outra ordem dá $3x^2y^2$ e depois de novo $6xy^2$ . Essa coincidência é o teorema de Schwarz, também chamado teorema de Clairaut: para funções cujas derivadas parciais segundas são contínuas, a ordem da derivação mista não importa. A calculadora mostra isso como conferência sempre que calcula uma derivada mista.

As derivadas parciais segundas têm usos concretos. No teste da derivada segunda para um ponto crítico de $f(x, y)$ , a quantidade $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ , o determinante hessiano, decide se o ponto é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela.

Calcular em um ponto e interpretar o número

Uma derivada parcial é ela mesma uma função de todas as variáveis: o seu valor depende, portanto, do ponto em que se está. Para $f = x^2 + 3xy$ , a derivada $f_x = 2x + 3y$ vale 8 em $(1, 2)$ . Isso significa que, perto desse ponto, aumentar $x$ em uma pequena quantidade $\Delta x$ mantendo $y = 2$ aumenta $f$ em aproximadamente $8\,\Delta x$ .

As unidades tornam a interpretação concreta. Se $V(r, h) = \pi r^2 h$ é o volume de um cilindro em centímetros cúbicos, então $V_r = 2\pi r h$ é medido em centímetros cúbicos por centímetro de raio e indica quanto o volume é sensível a uma variação do raio com a altura fixa.

Erros comuns

Derivar também a variável mantida constante, por exemplo escrever $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ .
Manter um termo como $4y$ ao derivar em relação a $x$ ; ele é uma constante, que dá 0.
Esquecer a derivada parcial interna na regra da cadeia, por exemplo escrever $\cos(xy)$ para $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ .
Ler $f_{xy}$ na ordem errada; a ordem dos índices é a ordem de derivação.
Confundir $\frac{\partial f}{\partial x}$ com a derivada total $\frac{df}{dx}$ quando o próprio $y$ depende de $x$ .

Dicas

Troque mentalmente as variáveis congeladas por números se não souber mais o que é constante.
Tire as constantes para fora antes de derivar; ao derivar em $x$ , $x^2 y^3$ é $y^3$ vezes $x^2$ .
Use o teorema de Schwarz como conferência grátis: calcule $f_{xy}$ e $f_{yx}$ e compare.
Escreva $\nabla f$ assim que tiver as duas derivadas parciais primeiras; a maioria das aplicações pede o gradiente completo.
Simplifique a derivada primeira antes de calcular a segunda para que as expressões continuem manejáveis.
Observe o sinal de uma derivada parcial em um ponto para saber se a função cresce ou decresce nessa direção.

Perguntas frequentes

Como escrever uma função de duas variáveis?

Use letras para as variáveis e um espaço ou um * para a multiplicação, por exemplo x^2 y + sin(x y) ou x^2*y + sin(x*y). Qualquer letra que não seja nome de função, como sin ou log, é tratada como variável.

Como obter uma derivada parcial segunda como f_xx?

Escreva a variável uma vez por derivação no campo «Derivar em relação a»: xx para f_xx, yy para f_yy. A calculadora deriva várias vezes e mostra cada passo separadamente.

f_xy é igual a f_yx?

Para quase todas as funções vistas em aula, sim. O teorema de Schwarz garante isso sempre que as derivadas mistas são contínuas. A calculadora mostra a comparação para você ver que elas coincidem.

O que significa o símbolo ∂?

É um d arredondado usado nas derivadas parciais. Ele indica que a função tem várias variáveis e que todas, menos a do denominador, ficam constantes durante a derivação.

Ela calcula a derivada parcial em um ponto?

Sim. Digite valores para todas as variáveis, como x = 1, y = 2, no campo opcional. A calculadora os substitui na derivada final e dá o número; por exemplo, f_x = 2x + 3y vale 8 em (1, 2).

Funciona com três variáveis?

Sim. Uma função como x y z ou x^2 + y z pode ser derivada em relação a qualquer uma das suas letras. Para x y z, a derivada parcial em relação a z vale xy.

Qual é a diferença entre derivada parcial e derivada comum?

As regras são idênticas, mas uma derivada comum trata de uma única variável, enquanto uma derivada parcial escolhe uma variável entre várias e trata as outras como constantes. O resultado continua sendo uma função de todas as variáveis.

O que é o gradiente e como as derivadas parciais o formam?

O gradiente é o vetor de todas as derivadas parciais primeiras, como ⟨f_x, f_y⟩. Ele aponta na direção em que a função cresce mais rápido, e a sua norma é essa taxa máxima de crescimento.

Por que a minha derivada parcial não tem a mesma cara do gabarito?

Expressões equivalentes podem ser escritas de muitas formas. A calculadora pode colocar um fator em evidência, como em y(2x + cos(xy)) em vez de 2xy + y cos(xy), ou ordenar os fatores de outro jeito. Desenvolva as duas formas, ou calcule-as no mesmo ponto, para conferir que coincidem.

Experimente a calculadora de derivadas parciais

Digite uma função de várias variáveis e obtenha fx, fy ou qualquer derivada mista, com cada regra explicada.

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