Como completar quadrados e obter a forma canônica: guia passo a passo

A ideia do método

Um trinômio quadrado perfeito é o desenvolvimento do quadrado de um binômio. Desenvolvendo $(x + h)^2$, obtém-se $x^2 + 2hx + h^2$: o termo independente é o quadrado da metade do coeficiente de $x$. Completar quadrados consiste em somar exatamente essa constante para que uma expressão vire um quadrado perfeito.

Por exemplo, a metade de 6 é 3 e $3^2 = 9$, logo $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Desenvolvendo o segundo membro, obtém-se $x^2 + 6x + 9 - 9$, o que confirma a igualdade. Geometricamente, $x^2 + 6x$ é um quadrado de $x$ por $x$ mais duas faixas de $3$ por $x$, e o canto que falta é um quadrado de $3$ por $3$ com área 9.

O mesmo esquema funciona com sinal de menos. A metade de $-10$ é $-5$ e $(-5)^2 = 25$, logo $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. A constante somada é sempre positiva, já que é um quadrado, enquanto o sinal dentro do parêntese é o de $b$. Manter esses dois fatos bem separados evita a maioria dos erros nos passos seguintes.

Resolver uma equação do segundo grau completando quadrados

1. Se o coeficiente de $x^2$ não for 1, divida todos os termos por esse coeficiente.
2. Passe o termo independente para o segundo membro.
3. Some $(b/2)^2$ aos dois membros.
4. Escreva o primeiro membro na forma $(x + b/2)^2$ e simplifique o segundo.
5. Tire a raiz quadrada dos dois membros, sem esquecer o $\pm$, e depois isole $x$.

Quando o coeficiente principal não é 1

A fórmula de Bhaskara confirma: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Com um coeficiente do meio ímpar, as frações são inevitáveis, mas continuam manejáveis. Para $x^2 + 5x - 1 = 0$, a metade de 5 é $\frac{5}{2}$, logo $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ e $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Soluções complexas

Se o segundo membro for negativo, não há solução real, mas o método continua dando as soluções complexas.

Verificação: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, e $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

A forma canônica de uma parábola

O uso mais comum de completar quadrados no estudo de funções é passar de $y = ax^2 + bx + c$ para a forma canônica $y = a(x - h)^2 + k$, em que $(h, k)$ é o vértice. Como um quadrado nunca é negativo, o vértice é o ponto de mínimo quando $a > 0$ e o de máximo quando $a < 0$.

O erro mais comum no exemplo 4 é esquecer de multiplicar o 9 subtraído pelo $-2$ colocado em evidência. Desenvolver de novo a sua forma canônica é uma verificação rápida.

O atalho $h = -\frac{b}{2a}$ dá a mesma abscissa do vértice; completar quadrados mostra de onde vem essa fórmula. A calculadora de equação do segundo grau informa o vértice além das raízes.

Demonstração da fórmula de Bhaskara

Completar quadrados na equação geral $ax^2 + bx + c = 0$ com $a \neq 0$ leva à fórmula de Bhaskara, e é por isso que essa fórmula sempre funciona.

O passo intermediário sai somando $\frac{b^2}{4a^2}$ aos dois membros e escrevendo $-\frac{c}{a}$ como $-\frac{4ac}{4a^2}$. O guia sobre como resolver equações do segundo grau explica quando usar a fórmula, a fatoração ou este método.

Circunferências e outras aplicações

Completar quadrados em $x$ e em $y$ transforma a equação geral de uma circunferência na sua forma reduzida, com centro e raio.

No cálculo, o mesmo passo prepara integrais como $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$: escrever o denominador como $(x + 1)^2 + 4$ dá $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. A calculadora de integrais usa essa mudança de variável quando ela se aplica.

Erros comuns

• Somar $(b/2)^2$ em um membro só.
• Completar o quadrado antes de dividir por um coeficiente principal diferente de 1.
• Esquecer o $\pm$ ao tirar a raiz quadrada, o que faz perder uma solução.
• Usar $b^2$ ou $b/2$ em vez de $(b/2)^2$.
• Ler errado o sinal do vértice: $(x - 3)^2$ dá $h = 3$, e $(x + 3)^2$ dá $h = -3$.

Teste o seu próprio exemplo na calculadora de completar quadrados, que mostra cada um dos passos acima.

O que a forma canônica revela

Depois que uma função do segundo grau está escrita na forma $a(x - h)^2 + k$, muitas informações podem ser lidas sem mais contas. O vértice é $(h, k)$ e o eixo de simetria é a reta vertical $x = h$. A imagem sai direto: se $a > 0$, o valor mínimo é $k$ e a imagem é $[k, \infty)$; se $a < 0$, o valor máximo é $k$ e a imagem é $(-\infty, k]$.

Dá para deduzir também o número de pontos de interseção com o eixo das abscissas. Fazer $a(x - h)^2 + k = 0$ dá $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Se $-\frac{k}{a}$ for positivo, há dois pontos de interseção; se for zero, o vértice toca o eixo; se for negativo, a parábola nunca corta o eixo. No exemplo 3, $(x - 2)^2 = -3$ não tem solução real, o que bate com um vértice na altura 3 em uma parábola com a concavidade para cima. No exemplo 4, $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ dá $(x - 3)^2 = 4$: os pontos de interseção são $x = 1$ e $x = 5$.

Os problemas de otimização se apoiam na mesma ideia. Se o lucro obtido vendendo a um preço $p$ for $P = -2p^2 + 12p - 10$, em centenas de reais, o exemplo 4 mostra que o lucro máximo é de 8 centenas de reais para $p = 3$. Não é preciso derivar: o termo ao quadrado só pode fazer o valor descer abaixo da altura do vértice.

Exercícios resolvidos para praticar

Tente resolvê-los antes de olhar as soluções. Cada um usa um passo dos exemplos anteriores.

1. Resolva $x^2 - 10x + 21 = 0$. Solução: $(x - 5)^2 = 4$, logo $x = 3$ ou $x = 7$.
2. Resolva $x^2 + 2x - 4 = 0$. Solução: $(x + 1)^2 = 5$, logo $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Escreva $y = x^2 + 8x + 10$ na forma canônica. Solução: $y = (x + 4)^2 - 6$, vértice $(-4, -6)$.
4. Escreva $y = 3x^2 - 6x + 1$ na forma canônica. Solução: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, vértice $(1, -2)$.
5. Encontre o centro e o raio de $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Solução: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, centro $(-1, 4)$, raio 3.

Se uma solução não bater, desenvolva de novo o seu quadrado completado e compare linha a linha com a expressão original; a diferença costuma mostrar qual constante foi somada ou subtraída errado.

Por que vale a pena aprender este método

Como existe a fórmula de Bhaskara, é natural perguntar por que ainda se ensina a completar quadrados. A resposta é que se trata de uma transformação, e não só de um truque de resolução. Ela reescreve uma expressão de modo que a variável apareça em um único lugar, dentro de um quadrado. A expressão fica então fácil de analisar: o mínimo ou o máximo, a simetria e os zeros dela podem ser lidos de relance.

Essa ideia volta em toda a matemática. As cônicas, como circunferências, elipses e hipérboles, são identificadas completando quadrados em duas variáveis. Na estatística, a densidade da distribuição normal tem um quadrado completado no expoente, e o estudo de muitas das suas propriedades se apoia na mesma conta. No cálculo, as integrais com uma expressão do segundo grau dentro de uma raiz ou no denominador viram integrais conhecidas depois desse passo. A física o usa para encontrar as posições de equilíbrio das funções de energia.

Praticar com equações simples desenvolve, portanto, uma habilidade que os conteúdos seguintes dão como certa. Se você consegue refazer os exemplos 1 a 5 sem consultar anotações, está bem preparado para esses usos e para as questões de prova que pedem para mostrar o método em vez de dar só as raízes.

Perguntas frequentes