Calculadora para completar quadrados

Por que o quadrado da metade do coeficiente?

Desenvolvendo $(x + p)^2$, obtém-se $x^2 + 2px + p^2$. Comparando com $x^2 + bx$, os termos do meio coincidem quando $2p = b$, ou seja, $p = b/2$, e a constante que falta é $p^2 = (b/2)^2$. Geometricamente, $x^2 + bx$ é um quadrado de lado $x$ acompanhado de dois retângulos de $x \times b/2$; o quadradinho do canto, de área $(b/2)^2$, é o que completa o quadrado grande.

Quando o coeficiente principal não é 1

Coloque $a$ em evidência apenas nos termos em $x^2$ e em $x$, deixando a constante de fora. Complete o quadrado dentro do parêntese e, ao tirar para fora o quadrado subtraído, multiplique-o por $a$. Esquecer essa multiplicação é o erro mais comum: no exemplo, o $-4$ de dentro do parêntese vira $-8$ do lado de fora.

Se $a$ for negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo e o vértice é um máximo. A calculadora coloca o coeficiente negativo em evidência do mesmo jeito, de modo que os sinais dentro do parêntese mudam.

Resolver uma equação completando quadrados

Para $x^2 - 4x - 1 = 0$, a forma canônica dá $(x - 2)^2 = 5$. Tirando a raiz quadrada dos dois lados, com os dois sinais, obtém-se $x - 2 = \pm\sqrt5$, então $x = 2 \pm \sqrt5$. Repetir os mesmos passos com letras no lugar dos números leva à fórmula de Bhaskara.

Quando o segundo membro é negativo, como em $(x + 3)^2 = -4$, que vem de $x^2 + 6x + 13 = 0$, não há solução real. A calculadora indica isso e também dá o par de complexos $-3 \pm 2i$ obtido ao admitir $\sqrt{-4} = 2i$.

Ler o gráfico a partir da forma canônica

A forma canônica descreve a parábola como uma transformação de $y = x^2$. O valor $h$ desloca a curva para a direita (ou para a esquerda se $h$ for negativo), $k$ a desloca para cima ou para baixo, e $a$ a estica verticalmente e a inverte se for negativo. O eixo de simetria é a reta vertical $x = h$: pontos à mesma distância de cada lado de $h$ têm a mesma ordenada.

Isso deixa o esboço muito mais rápido. Para $2(x - 2)^2 - 5$, marque o vértice $(2, -5)$ e ande uma unidade para cada lado: a ordenada aumenta $a \cdot 1^2 = 2$, o que dá $(1, -3)$ e $(3, -3)$. A imagem se lê na hora, $y \ge -5$, e é por isso que a forma canônica é o ponto de partida natural das questões de domínio e imagem.