Composição de funções: como calcular e usar f(g(x))

O que significa compor

Dadas duas funções $f$ e $g$, a composta $f \circ g$, que se lê f bola g, é a função que aplica primeiro $g$ e depois $f$ ao resultado:

A ordem é o que mais confunde. A função escrita à direita, a mais próxima de $x$, age primeiro. Pense em uma linha de montagem: $x$ entra na máquina $g$, o produto $g(x)$ passa para a máquina $f$, e sai $f(g(x))$. Para isso funcionar, cada valor de $g$ usado precisa ser uma entrada aceitável para $f$.

Composição não é multiplicação. O produto $(fg)(x)$ significa $f(x) \cdot g(x)$, ou seja, multiplica dois valores, enquanto $(f \circ g)(x)$ substitui uma função dentro da outra. É a bolinha que diferencia as duas.

Compor duas fórmulas

Para achar $f(g(x))$, pegue a fórmula de $f$ e troque cada $x$ pela expressão inteira $g(x)$, entre parênteses. Depois simplifique.

As duas ordens dão funções completamente diferentes. Em geral, a composição não é comutativa: $f \circ g$ e $g \circ f$ quase sempre são diferentes, e nunca se deve supor que sejam iguais. Por outro lado, ela é associativa: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, e uma cadeia de três funções pode ser calculada de dentro para fora.

Coloque sempre a função de dentro entre parênteses na substituição. Sem eles, $g(2x + 3)$ com $g(x) = x^2$ vira facilmente $2x + 3^2$, o que está errado.

Calcular uma composta com números e tabelas

Muitas vezes só se precisa de um valor específico. Trabalhe de dentro para fora: calcule primeiro a função de dentro e depois use esse resultado como entrada da função de fora. Não é preciso achar a fórmula da composta.

Suponha que uma tabela dê $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ e $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Então $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ e $f(g(3)) = f(2) = -1$. Se a tabela não desse nenhum valor de $f$ para o número produzido por $g$, essa composta simplesmente não estaria definida para aquela entrada.

Com gráficos, o procedimento é o mesmo. Para achar $f(g(3))$ a partir de dois gráficos, leia $g(3)$ no gráfico de $g$, localize esse valor no eixo das abscissas do gráfico de $f$ e leia a imagem.

O domínio de uma função composta

O domínio de $f \circ g$ contém exatamente os valores $x$ que cumprem duas condições: $x$ pertence ao domínio de $g$, e $g(x)$ pertence ao domínio de $f$. Simplificar a fórmula da composta pode esconder a primeira condição: por isso, determine o domínio a partir das funções originais.

Um exemplo curto mostra por que isso importa. Se $f(x) = x^2$ e $g(x) = \sqrt{x}$, então $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, mas só para $x \ge 0$. A fórmula $x$ sozinha dá a impressão de que qualquer real serve, o que é falso. O guia sobre domínio e imagem detalha as restrições usadas aqui.

Decompor uma função

A decomposição faz o caminho inverso: dada uma função complicada $h$, procuram-se funções mais simples tais que $h = f \circ g$. Procure uma expressão interna sobre a qual age uma operação externa.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: interna $g(x) = 3x - 1$, externa $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: interna $g(x) = x^2 + 4$, externa $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: interna $g(x) = \sin x$, externa $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: interna $g(x) = x + 2$, externa $f(u) = \frac{1}{u^2}$, ou então uma cadeia em três etapas $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

As decomposições não são únicas, mas a mais útil costuma ter uma função interna simples. Chamar de $u$ a parte interna é exatamente o reflexo de que você vai precisar na regra da cadeia e na integração por substituição.

A composição no cálculo e nas funções inversas

Dois grandes conteúdos se apoiam na composição. Primeiro, a regra da cadeia: a derivada de $f(g(x))$ é $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Para $(3x - 1)^5$, isso dá $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. O guia das regras de derivação trata disso em detalhe.

Segundo, duas funções são inversas uma da outra exatamente quando a composta delas, em qualquer ordem, devolve a entrada: $f(f^{-1}(x)) = x$ e $f^{-1}(f(x)) = x$ nos conjuntos adequados. Para $f(x) = 2x + 3$ e $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$, obtém-se $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. É o jeito usual de conferir uma inversa, como explica o guia sobre funções inversas.

Um exemplo prático: descontos e cupons

Uma loja oferece 20% de desconto e você ainda tem um cupom de 10 reais. Seja $d(p) = 0.8p$ a aplicação do desconto a um preço $p$ e $c(p) = p - 10$ a aplicação do cupom. A ordem importa.

• Primeiro o cupom, depois o desconto: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Primeiro o desconto, depois o cupom: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Para um produto de 50 reais, a primeira ordem custa 32 reais e a segunda 30 reais.

Aplicar primeiro a porcentagem sempre economiza 2 reais aqui, porque o cupom não é reduzido pela porcentagem. Situações desse tipo, em que um processo alimenta outro, são compostas, e mostram que a ordem de $f$ e $g$ não é um mero detalhe técnico.

Erros comuns

• Aplicar as funções na ordem errada: em $f(g(x))$, quem age primeiro é $g$.
• Multiplicar $f(x)$ por $g(x)$ em vez de substituir.
• Substituir sem parênteses, principalmente em potências e com sinais de menos.
• Achar o domínio só pela fórmula simplificada e esquecer valores excluídos pela função de dentro.
• Supor que $f \circ g = g \circ f$.

Você pode conferir as duas ordens e seus domínios na calculadora de composição de funções, que mostra explicitamente o passo da substituição.

Por que dominar a composição

Quase todas as funções que aparecem depois da álgebra são construídas por composição. Uma fórmula para a temperatura de uma bebida esfriando, a posição de um pêndulo oscilando ou o valor de um investimento costuma ser uma função externa simples, como uma exponencial, um seno ou uma potência, aplicada a uma expressão interna mais simples ainda. Saber enxergar essa estrutura permite prever o formato de um gráfico, saber onde uma função está definida e escolher a técnica certa para derivadas e integrais.

A composição também explica as transformações de gráficos. Deslocar o gráfico de $f$ três unidades para a direita dá $f(x - 3)$, ou seja, $f$ composta com a função interna $x - 3$. Esticá-lo verticalmente por um fator 2 dá $2f(x)$, ou seja, a função externa $2u$ composta com $f$. Visto assim, uma transformação aplicada dentro dos parênteses muda a entrada e age na horizontal, enquanto uma transformação aplicada fora muda a saída e age na vertical. Essa única observação explica por que as translações horizontais parecem ir no sentido errado.

Exercícios resolvidos

Faça no papel e depois compare. Cada um usa uma ideia das seções anteriores.

1. Se $f(x) = x^2 + 1$ e $g(x) = x - 3$, calcule $f(g(x))$. Solução: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. Com as mesmas funções, calcule $g(f(x))$. Solução: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Se $f(x) = \sqrt{x}$ e $g(x) = 4 - x$, ache o domínio de $f(g(x))$. Solução: $4 - x \ge 0$, logo $(-\infty, 4]$.
4. Decomponha $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Solução: interna $x^2 + 1$, externa $\ln u$.
5. Se $f(x) = 3x - 2$, calcule $f(f(2))$. Solução: $f(2) = 4$ e $f(4) = 10$.

Se você achou $x^2 - 2$ no primeiro exercício, aplicou as funções na ordem errada: essa é a solução do segundo. Trocar as duas ordens é o erro mais comum, e um teste com um número como $x = 0$ o revela na hora: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, enquanto $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Perguntas frequentes