Тригонометрические тождестваТригонометрияСтаршая школа≈ 1:11

Является ли tan(x) × cos(x) = sin(x) тождеством?

Анимированный пошаговый урок. Нажмите «Воспроизвести», чтобы смотреть шаги с субтитрами, или прочитайте шаги и расшифровку ниже. Ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены)..

СкоростьЯзык

Главы

Транскрипт

Записанное видео: голос и текст на экране на английском языке. Субтитры: Русский. Чтобы включить озвучку на этом языке, откройте интерактивную версию.

Видео на английском: Скачать MP4 (0.5 MB) · Субтитры (WebVTT): Русский · Субтитры на английском (WebVTT)

Шаги на экране

1. Задача
Разобранный пример
$\tan\left( x\right) \cos\left( x\right) = \sin\left( x\right)$
2. Шаги, часть 1
1. $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
  Выражаем всё через sin x и cos x
2. $\sin x$
  Левая часть через синус и косинус
3. $\sin x$
  Правая часть через синус и косинус
4. $\text{левая часть} - \text{правая часть} = \frac{N}{D},\quad N = 0$
  Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю
3. Шаги, часть 2
1. $N = 0$
  Заменяем каждый cos²x на 1 − sin²x и приводим подобные
2. Числитель тождественно равен нулю
4. Ответ
$\tan\left( x\right) \cos\left( x\right) \equiv \sin\left( x\right)$
LHS − RHS reduces to 0
5. Проверка
- Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Расшифровка

Задача. Вот задача: Является ли tan(x) умножить на cos(x) равно sin(x) тождеством? Докажем тригонометрическое тождество.

Шаги, часть 1. Выражаем всё через sin x и cos x. Использованные тождества:. Левая часть через синус и косинус. Правая часть через синус и косинус. Вычитаем одну часть из другой и приводим разность к общему знаменателю. Тождество верно тогда и только тогда, когда этот числитель равен нулю при любом значении переменной.

Шаги, часть 2. Заменяем каждый cos в квадратеx на 1 минус sin в квадратеx и приводим подобные. Числитель тождественно равен нулю. После применения sin в квадрате плюс cos в квадрате равно 1 все члены взаимно уничтожились, поэтому обе части равны везде, где они определены.

Ответ. Итак, ответ: Тождество верно (для всех значений, при которых обе части определены). Записав обе части через синус и косинус и заменив cos в квадрате на 1 минус sin в квадрате, получаем, что разность частей равна ровно 0, поэтому tan(x) умножить на cos(x) равно sin(x) выполняется при каждом x, при котором обе части определены.

Проверка. Численная проверка в 10 контрольных значениях: обе части совпадают.

Шаги на экране

Расшифровка

Похожие уроки