Калькуляторы математического анализа: производные, интегралы и пределы
Математический анализ изучает изменение и накопление. Производная измеряет, как быстро меняется величина; интеграл складывает малые части, чтобы найти площади и суммарные величины. Эти калькуляторы показывают, какое правило работает на каждом шаге, и проверяют каждый результат.
Калькуляторы
Калькулятор производных
Смотрите, какое правило дифференцирования применяется на каждом шаге — от внешней операции к внутренним.
Калькулятор интегралов
Неопределённые и определённые интегралы с названием метода на каждом шаге; каждая первообразная проверяется перед выводом.
Калькулятор определённых интегралов
Введите функцию и оба предела интегрирования и получите точное значение определённого интеграла с первообразной, вычислением F(b) − F(a), а для несобственных интегралов — с пределом, который решает вопрос о сходимости.
Калькулятор пределов
Введите функцию и значение, к которому стремится x, и получите предел с распознанной неопределённостью, правилом, которое её раскрывает, и численной проверкой результата.
Калькулятор частных производных
Введите функцию нескольких переменных и переменную или последовательность переменных, по которым нужно дифференцировать, и получите частную производную с объяснением каждого правила и при желании её значение в точке.
Калькулятор неявного дифференцирования
Введите уравнение с x и y, чтобы найти dy/dx неявным дифференцированием: с правилом сложной функции для каждого слагаемого с y, выражением y′ и при желании угловым коэффициентом и касательной в точке.
Калькулятор рядов Тейлора
Введите функцию, центр разложения и степень, чтобы построить её многочлен Тейлора с каждой производной в центре, точными коэффициентами и, если указать значение x, сравнением приближения с точным значением.
Калькулятор сходимости рядов
Введите общий член ряда, чтобы узнать, сходится он или расходится, какой признак это решает и почему, с точной суммой всякий раз, когда ряд геометрический.
Темы раздела
- Дифференцирование
- Производная степени, произведения, частного и сложной функции, производные высших порядков и значение в точке.
- Интегрирование
- Первообразные, замена переменной, интегрирование по частям, разложение на простейшие дроби и определённые интегралы.
- Пределы
- Прямая подстановка, правило Лопиталя, односторонние пределы и пределы на бесконечности.
- Функции нескольких переменных и неявное дифференцирование
- Частные производные, смешанные производные и dy/dx из неявного уравнения.
- Ряды
- Многочлены Тейлора и Маклорена и признаки сходимости рядов.
Как инструменты анализа показывают решение
Каждая производная раскладывается на правила, из которых она складывается. Калькулятор определяет внешнюю операцию, применяет подходящее правило и затем продвигается внутрь: так задача на производную сложной функции показывает внешнюю и внутреннюю производные до того, как их перемножить. Для интегралов указывается использованный метод — табличный интеграл, замена переменной, интегрирование по частям или разложение на простейшие дроби, — и каждая первообразная проверяется повторным дифференцированием.
Пределы по возможности вычисляются прямой подстановкой, иначе — упрощением, по правилу Лопиталя или сравнением роста на бесконечности. Определённые интегралы дают точное значение, если первообразная существует, а иначе — чётко обозначенное приближённое значение.
Развиваем интуицию
Анализ даётся легче, когда символы связаны с картинками. Производная — это угловой коэффициент касательной, определённый интеграл — ориентированная площадь, а многочлен Тейлора — кривая, которая прижимается к исходной функции вблизи точки. Используйте построитель графиков вместе с этими инструментами, чтобы увидеть, что означает каждый результат, а затем проверьте, согласуются ли знак и порядок величины вашего ответа с графиком.
Руководства
- Правила дифференцирования с объяснениями и разобранными примерами
Вычислять производные по определению через предел утомительно. Небольшой набор правил, каждое из которых один раз доказано из этого определения, позволяет продифференцировать почти любую формулу за несколько строк. Это руководство представляет каждое правило, объясняет, почему оно работает, и показывает, как их сочетать.