Калькулятор рядов Тейлора

Откуда берутся коэффициенты

Пусть многочлен $c_0 + c_1(x - a) + c_2(x - a)^2 + \cdots$ должен совпадать с $f$ в точке $a$. Подстановка $x = a$ уничтожает все слагаемые, кроме $c_0$, поэтому $c_0 = f(a)$. Одно дифференцирование и подстановка $x = a$ оставляют $c_1 = f'(a)$. Два дифференцирования оставляют $2c_2 = f''(a)$, и в общем случае $k!\,c_k = f^{(k)}(a)$.

Это и есть всё доказательство, и оно объясняет факториалы: они компенсируют константы, которые накапливаются, когда $(x - a)^k$ дифференцируют $k$ раз. Калькулятор показывает это таблицей $f^{(k)}(a)$ и $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$ для каждого $k$ — той самой таблицей, которую вы составили бы вручную.

Закономерности самых частых рядов

Для $\sin x$ в окрестности 0 производные проходят цикл $\sin, \cos, -\sin, -\cos$, который в 0 даёт значения $0, 1, 0, -1$. Все коэффициенты при чётных степенях равны нулю, и многочлен степени 7 равен $x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040}$. Косинус, напротив, даёт чётные степени: до степени 4 он равен $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Для $\ln x$ в окрестности 1 производная порядка $k$ равна $(-1)^{k+1}(k-1)!/x^k$, поэтому коэффициенты равны $\pm\frac1k$, а ряд имеет вид $(x - 1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots$. Кто узнаёт эти закономерности, может выписывать многие ряды без единой производной и делать в них подстановки, например заменять $x$ в ряде $e^x$ на $-x^2$.

Насколько точно приближение?

Формула Тейлора ограничивает погрешность. Остаточный член $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$ равен $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ для некоторого $c$ между $a$ и $x$. Малым его делают две вещи: близость к центру разложения, чтобы $(x - a)^{n+1}$ было крошечным, и факториал в знаменателе, который рано или поздно обгоняет любую степень.

Пример с корнем показывает первый эффект. Многочлен степени 3 для $\sqrt{x}$ в окрестности 4 равен $2 + \frac{x-4}{4} - \frac{(x-4)^2}{64} + \frac{(x-4)^3}{512}$. При $x = 4.1$ он даёт примерно 2,024845703 против точного значения 2,024845673, то есть погрешность около $3\times10^{-8}$, потому что $0.1^4$ уже очень мало.

Вдали от центра всё иначе. Для $\frac{1}{1-x}$ многочлены хорошо приближают при $x = 0.1$, но бесполезны при $x = 2$, потому что ряд сходится только при $|x| < 1$. При $x = 2$ многочлен степени 5 даёт значение 63, тогда как функция равна $-1$: погрешность 64, которая растёт с каждым новым слагаемым. Значение погрешности в калькуляторе делает это наглядным: попробуйте одну и ту же функцию той же степени в близкой и в далёкой точке и сравните.

Выбор центра разложения

Выбирайте центр, в котором функцию и её производные легко вычислить и который близок к месту, где нужно приближение. Раскладывать $\sqrt{x}$ в окрестности 4 естественно, потому что $\sqrt4 = 2$ точно. Разложить $\ln x$ в окрестности 0 невозможно, потому что там функция не определена, а разложение $|x|$ в окрестности 0 не удаётся, потому что там она не дифференцируема; калькулятор объясняет такие случаи, а не выдаёт бессмысленный многочлен.

Многочлены Тейлора на практике

Приближение малых углов $\sin\theta \approx \theta$ — это просто многочлен Маклорена степени 1 для синуса, и его погрешность остаётся меньше 1 % для углов примерно до 14 градусов. Формула периода колебаний маятника, параксиальное приближение в оптике и закон Гука для пружин получаются, если оставить только первое или первые два слагаемых разложения Тейлора.

Многочлены Тейлора делают лёгкими и трудные задачи. Предел вроде $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ становится очевидным, как только $\cos x$ заменяют на $1 - \frac{x^2}{2} + \cdots$, а интеграл без элементарной первообразной, такой как $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$, можно приближённо вычислить, почленно проинтегрировав многочлен.