Построение графиков функций онлайн — функции, неравенства и точки

Q: Можно ли решать уравнения с помощью графика?

Да, приближённо: постройте каждую часть и найдите абсциссы точек, в которых кривые пересекаются. Для точных ответов используйте решатель уравнений.

Q: Работает ли он на телефоне?

Да. График подстраивается под размер экрана, и его можно сдвигать пальцем.

Q: Как найти точку пересечения двух кривых?

Введите каждую функцию в отдельной строке и увеличьте масштаб около точки пересечения. Её абсцисса решает уравнение, полученное приравниванием двух функций, а ордината — их общее значение в этой точке.

О построителе графиков

График превращает формулу в картинку: нули функции становятся точками пересечения с осью x, максимумы и минимумы — вершинами и впадинами, а асимптоты видны там, где кривая уходит в бесконечность.

Неравенства вроде $y > 2x + 1$ изображаются закрашенной областью: сплошная граница показывает, что точки на прямой входят в решение ( $\le$ , $\ge$ ), а пунктирная — что не входят ( $<$ , $>$ ). Точки вроде $(3, 0)$ отмечаются подписанными маркерами, что очень удобно для проверки нулей и точек пересечения с осями.

Введите до пяти строк одновременно, чтобы сравнить их. Построитель очень плотно вычисляет каждую кривую, разрывает её в точках, где функция не определена, и на вертикальных асимптотах, вместо того чтобы рисовать ложные соединительные линии, и мгновенно перерисовывает всё при масштабировании или сдвиге.

Что такое построитель графиков?

Построитель графиков изображает множество точек, удовлетворяющих соотношению. Для функции $y = f(x)$ он вычисляет $y$ для множества близко расположенных значений $x$ во всём видимом окне и соединяет их в кривую. Для неравенства он закрашивает все точки плоскости, в которых оно верно, а для списка точек просто отмечает каждую пару координат.

Картинка отвечает на вопросы, которые трудно решить одной алгеброй: сколько решений у уравнения, где они примерно находятся, возрастает функция или убывает и как она ведёт себя при очень больших или очень малых $x$ . Построитель работает полностью в вашем браузере: ничего из того, что вы вводите, никуда не отправляется.

Как пользоваться построителем графиков

Введите функцию от x, например x^2 - 2x - 3 или sin(x). Можно начать с y = или f(x) =.
Неравенство разрешите относительно y, например y >= x^2 - 4 или y < 3 - x. Для вертикальной границы напишите x < 2 или x >= -1.
Чтобы отметить точки, запишите их в скобках через запятую, например (1, 2), (-3, 0.5).
Кнопкой «Добавить строку» добавляйте новые строки, чтобы сравнить графики разных цветов.
Перетаскивайте график, чтобы сдвинуть его, масштабируйте колёсиком мыши или кнопками + и −, а кнопка «Сбросить вид» вернёт исходный вид.

Формулы

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = mx + b

Уравнение параболы через вершину

y = a(x - h)^2 + k

Синусоида

y = A\sin(Bx + C) + D

Разобранный пример

Введите, например, $y = x^2 - 2x - 3$ . Кривая — парабола с ветвями вверх, потому что коэффициент при $x^2$ положителен. Она пересекает ось x в точках $x = -1$ и $x = 3$ , нулях функции, так как $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ . Ось y она пересекает в точке $-3$ , равной свободному члену, а её нижняя точка, вершина, находится в $(1, -4)$ , ровно посередине между нулями. Добавьте вторую строку $y < x^2 - 2x - 3$ : область под кривой закрасится, а граница будет пунктирной.

Подробное объяснение

Как читать главные особенности кривой

Точки пересечения $y = f(x)$ с осью x соответствуют вещественным решениям $f(x) = 0$ , а точка пересечения с осью y — это $f(0)$ . Вершины и впадины — локальные максимумы и минимумы, в которых производная обращается в нуль. Растёт ли кривая неограниченно далеко слева и справа или приближается к горизонтальной прямой, показывает её поведение на бесконечности. Вертикальные асимптоты появляются там, где знаменатель дробно-рациональной функции обращается в нуль, например $x = 2$ для $y = \frac{1}{x - 2}$ ; построитель разрывает там кривую, а не рисует ложную вертикальную линию через разрыв.

Преобразования графиков

Построить функцию рядом с её изменённой версией — самый быстрый способ понять преобразования. Если прибавить $k$ снаружи, то есть $f(x) + k$ , кривая сдвинется на $k$ единиц вверх. Если заменить $x$ на $x - h$ , она сдвинется на $h$ единиц вправо. Умножение на $a$ растягивает её по вертикали, а отрицательное $a$ к тому же отражает её относительно оси x. Попробуйте $y = x^2$ , $y = (x - 2)^2$ и $y = -x^2 + 3$ в трёх строках, чтобы увидеть все три эффекта одновременно.

Графическое решение уравнений и систем

Чтобы решить уравнение вроде $2^x = x + 3$ , постройте каждую его часть в отдельной строке и найдите точки пересечения; их абсциссы и есть решения. Тем же способом решается система двух уравнений с двумя неизвестными. График даёт приближённые значения: используйте его, чтобы увидеть, сколько решений и где они примерно находятся, а затем подтвердите их решателем уравнений или калькулятором систем уравнений, чтобы получить точные ответы.

Типичные ошибки

Писать sin x без скобок; используйте sin(x).
Ожидать увидеть $\sqrt{x}$ или $\ln x$ при отрицательных x; они определены только при $x \ge 0$ и $x > 0$ соответственно.
Упускать особенности из-за слишком маленького окна; сначала уменьшите масштаб, чтобы увидеть общую форму.
Принимать приблизительную точку пересечения, считанную с графика, за точный ответ.

Советы

Стройте две части уравнения как две отдельные функции; точки пересечения — это решения.
Сравнивайте $f(x)$ с $f(x) + k$ или с $f(x - h)$ , чтобы наглядно увидеть сдвиги.
Параллельно используйте калькулятор производных, чтобы проверить, где кривая возрастает.
Увеличивайте масштаб около точки пересечения с осями или двух кривых, чтобы точнее считать её координаты.
Отмечайте рядом с кривой известную точку, чтобы проверить, действительно ли кривая через неё проходит.

Частые вопросы

Что можно построить?

Любую функцию от x, составленную из чисел, + − × ÷, степеней, корней, показательных функций, логарифмов, модуля, а также тригонометрических, обратных тригонометрических и гиперболических функций.

Сколько функций можно построить одновременно?

До пяти строк. Каждая строка — функция, неравенство или список точек, и рисуется своим цветом.

Как построить неравенство?

Запишите его так, чтобы y стоял один в одной части, например y > 2x + 1 или y <= x^2. Область решений закрашивается; пунктирная граница в решение не входит, а сплошная входит. Для вертикальной границы напишите x < 3 или x >= -2.

Можно ли отмечать точки?

Да. Введите одну или несколько точек в скобках, например (2, 3) или (0, 0), (1, 1), (2, 4). Каждая точка рисуется подписанным маркером, до 50 в строке.

Как масштабировать и сдвигать вид?

Масштабируйте колёсиком мыши относительно указателя или кнопками + и −, а перетаскивайте, чтобы сдвинуть вид. Кнопка «Сбросить вид» возвращает окно от −10 до 10.

Почему у кривой есть разрывы?

Разрывы появляются там, где функция не определена, например $\sqrt{x}$ при $x < 0$ , или на вертикальных асимптотах, например $x = 0$ для $\frac1x$ .

Можно ли решать уравнения с помощью графика?