Решение квадратных уравнений — формула корней, дискриминант и корни

Q: Как выглядит формула корней квадратного уравнения?

Для ax^2 + bx + c = 0 корни равны x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Формула подходит для любого квадратного уравнения, в том числе для тех, что не раскладываются на множители.

Q: О чём говорит дискриминант?

Если b^2 - 4ac > 0, корней два и они различны; если он равен 0, корень один кратности два; если он отрицателен, корни комплексные и их два.

Q: Выдаёт ли калькулятор комплексные корни?

Да. При отрицательном дискриминанте корни записываются как p ± qi; для x^2 + 2x + 5 = 0 это -1 ± 2i.

Q: Как найти вершину параболы?

Вершина находится при x = -b/(2a); подставьте это значение, чтобы получить ординату. Калькулятор показывает обе координаты.

Q: Почему в квадратном уравнении a не может быть равно нулю?

При a = 0 член с x^2 исчезает, и уравнение становится линейным, bx + c = 0, с не более чем одним решением. К тому же формула потребовала бы деления на ноль, поэтому калькулятор требует ненулевого a.

О калькуляторе квадратных уравнений

Квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a \neq 0$ . Его график — парабола, а корни — это точки, в которых она пересекает ось x.

Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$ показывает, каких корней ожидать: двух действительных, если он положителен, одного корня кратности два, если он равен нулю, и двух комплексно сопряжённых, если он отрицателен. Калькулятор оставляет корни в точном виде: $2x^2 + 4x - 3 = 0$ даёт $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

Что такое квадратное уравнение?

Квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение второй степени: наибольшая степень неизвестного равна $x^2$ . В стандартном виде его записывают как $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a$ , $b$ и $c$ — числа, причём $a$ не равно нулю. Коэффициент $a$ определяет, насколько широко раскрыта парабола и куда направлены её ветви, вверх или вниз, $b$ сдвигает её в сторону, а $c$ — точка, в которой она пересекает ось y.

Поскольку график $y = ax^2 + bx + c$ — парабола, он может пересечь ось x дважды, коснуться её один раз в вершине или вовсе её не достичь. Эти три случая соответствуют двум действительным корням, одному корню кратности два и отсутствию действительных корней, а дискриминант показывает, какой случай перед нами, ещё до вычисления корней.

Как пользоваться калькулятором квадратных уравнений

Преобразуйте уравнение так, чтобы одна его часть была равна 0.
Введите коэффициенты a, b и c. Допускаются обыкновенные и десятичные дроби.
Нажмите «Решить», чтобы увидеть дискриминант, оба корня, разложение на множители и вершину параболы.

Формулы

Формула корней квадратного уравнения

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Дискриминант

\Delta = b^2 - 4ac

Вершина параболы

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Теорема Виета

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Разобранный пример: x² − 3x − 10 = 0

В разобранном примере решается $x^2 - 3x - 10 = 0$ , то есть $a = 1$ , $b = -3$ и $c = -10$ . Дискриминант равен $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ — положительный полный квадрат, поэтому корней два и оба рациональные. Формула даёт $\frac{3 \pm 7}{2}$ , то есть $x = -2$ и $x = 5$ . Калькулятор также находит вершину $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ и разложение $(x + 2)(x - 5)$ и по теореме Виета подтверждает, что сумма корней равна 3, а их произведение −10.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

Как мы поняли вашу задачу

Решаем квадратное уравнение в стандартном виде по формуле корней.

x^2 - 3x - 10 = 0

Пошаговое решение

Определяем коэффициенты ax² + bx + c = 0
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Вычисляем дискриминант
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, поэтому уравнение имеет два различных действительных корня
Применяем формулу корней квадратного уравнения
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Упрощаем каждый корень
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Находим вершину параболы
Ветви параболы направлены вверх, поэтому вершина — точка минимума.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Разложение на множители
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Использованные формулы

Формула корней квадратного уравнения
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Дискриминант
$\Delta = b^2 - 4ac$
Вершина
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Дискриминант положителен, поэтому парабола пересекает ось x в двух точках.

Проверка

Подставляем x = -2: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
Подставляем x = 5: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Теорема Виета: сумма корней = 3 = −b/a = 3; произведение = -10 = c/a = -10

Подробное объяснение

Три случая дискриминанта

Если $\Delta > 0$ , квадратный корень — действительное число, и $\pm$ даёт два различных корня. Если $\Delta$ к тому же полный квадрат, как 49 в примере, корни рациональные, и трёхчлен раскладывается на множители с целыми коэффициентами; иначе в корнях остаётся радикал, как у $2x^2 + 4x - 3 = 0$ с корнями $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Если $\Delta = 0$ , оба корня совпадают: у $x^2 - 6x + 9 = 0$ один корень $x = 3$ кратности два, и парабола лишь касается оси. Если $\Delta < 0$ , действительных корней нет, и калькулятор выдаёт пару комплексных корней, например $-1 \pm 2i$ для $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

Откуда берётся формула

Формулу корней получают, выделяя полный квадрат в общем уравнении. Разделив на $a$ и перенеся $c$ в другую часть, получаем $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; прибавив к обеим частям $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ , превращаем левую часть в полный квадрат: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Извлекая корень и вычитая $\frac{b}{2a}$ , приходим к формуле. Этот вывод объясняет и положение вершины: парабола симметрична относительно прямой $x = -\frac{b}{2a}$ , ровно посередине между двумя корнями.

Как читать вершину и график

Вершина — точка, в которой парабола меняет направление. Её абсцисса равна $-\frac{b}{2a}$ , а подставив это значение в уравнение, получаем ординату, которая при $a > 0$ является наименьшим значением, а при $a < 0$ — наибольшим. В примере вершина находится в точке $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , поэтому выражение $x^2 - 3x - 10$ никогда не бывает меньше $-12.25$ . Именно поэтому квадратичные функции так полезны в задачах на оптимизацию, например чтобы найти наивысшую точку полёта брошенного мяча или цену, при которой выручка максимальна.

Запись в виде $a(x - h)^2 + k$ даёт ту же информацию напрямую: вершина находится в точке $(h, k)$ .

Типичные ошибки

Использовать $-b^2$ вместо $b^2$ , когда $b$ отрицательно: $(-3)^2 = 9$ .
Делить на $2a$ только $-b$ , а не весь числитель.
Вводить коэффициенты, не перенеся предварительно все члены в одну часть.
Забывать про ± и указывать только один корень.
Указывать комплексные корни, когда требуются только действительные, или наоборот; внимательно читайте условие.

Советы

Если $b$ чётно, формула упрощается до $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Проверяйте корни по теореме Виета: их сумма должна быть равна $-\frac{b}{a}$ .
Если $\Delta$ — полный квадрат, трёхчлен раскладывается на множители с целыми коэффициентами.
Сначала разделите все три коэффициента на общий множитель: корни не изменятся, а вычисления станут проще.
Вершина лежит ровно посередине между двумя корнями, и это позволяет быстро проверить оба.

Частые вопросы

Как выглядит формула корней квадратного уравнения?

Для $ax^2 + bx + c = 0$ корни равны $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Формула подходит для любого квадратного уравнения, в том числе для тех, что не раскладываются на множители.

О чём говорит дискриминант?

Если $b^2 - 4ac > 0$ , корней два и они различны; если он равен 0, корень один кратности два; если он отрицателен, корни комплексные и их два.

Выдаёт ли калькулятор комплексные корни?

Да. При отрицательном дискриминанте корни записываются как $p \pm qi$ ; для $x^2 + 2x + 5 = 0$ это $-1 \pm 2i$ .

Что будет при a = 0?

Тогда уравнение линейное, а не квадратное. Воспользуйтесь калькулятором уравнений или калькулятором решения относительно x.

Как найти вершину параболы?

Вершина находится при $x = -\frac{b}{2a}$ ; подставьте это значение, чтобы получить ординату. Калькулятор показывает обе координаты.

Почему корни записаны с радикалами, а не десятичными дробями?

Точные радикалы сохраняют полную точность и показывают структуру ответа. Округлённая десятичная дробь приводится рядом для ориентира.

Что означает корень кратности два?

Дискриминант равен нулю, и оба корня — одно и то же число. Парабола касается оси x в вершине, не пересекая её, как у $x^2 - 6x + 9 = 0$ с корнем $x = 3$ кратности два.

Когда разложение на множители удобнее формулы?

Раскладывайте на множители, когда дискриминант — полный квадрат, а числа небольшие: тогда корни рациональные. Формула работает всегда, применяйте её, когда разложение неочевидно.

Почему в квадратном уравнении a не может быть равно нулю?

При $a = 0$ член с $x^2$ исчезает, и уравнение становится линейным, $bx + c = 0$ , с не более чем одним решением. К тому же формула потребовала бы деления на ноль, поэтому калькулятор требует ненулевого $a$ .

Попробуйте калькулятор квадратных уравнений

Введите a, b и c и получите дискриминант, точные корни, вершину параболы и разложение на множители.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор квадратных уравнений