Решение неравенств и запись ответа в виде промежутков

Знаки неравенства и вид ответа

Неравенство сравнивает два выражения с помощью одного из четырёх знаков: $<$ (меньше), $>$ (больше), $\le$ (меньше или равно) и $\ge$ (больше или равно). Его решение обычно является бесконечным множеством чисел: его записывают неравенством, изображают на числовой прямой или записывают промежутком.

• $x < 5$ соответствует промежутку $(-\infty, 5)$; круглая скобка показывает, что 5 не входит, а на числовой прямой точку отмечают пустым (выколотым) кружком.
• $x \le 3$ соответствует $(-\infty, 3]$; квадратная скобка показывает, что 3 входит, и точку отмечают закрашенным кружком.
• $-2 \le x < 4$ соответствует $[-2, 4)$.
• Бесконечность всегда ставится с круглой скобкой, потому что это не число, которое можно включить. В российских учебниках границы промежутка часто разделяют точкой с запятой вместо запятой; обе записи обозначают одно и то же множество.

Единственное правило, которое отличается от уравнений

К обеим частям можно прибавлять или вычитать любое число и умножать или делить обе части на положительное число, точно как в уравнении. Но если умножить или разделить обе части на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.

Чтобы понять почему, возьмите верное неравенство $-2 < 3$ и умножьте обе части на $-1$. Получится $2$ и $-3$, и $2 > -3$. Умножение на отрицательное число отражает числовую прямую, из-за чего меняется то, какая часть больше. То же самое происходит, если поменять части неравенства местами: $5 > x$ означает то же, что $x < 5$.

Линейные неравенства

Проверка одного значения с каждой стороны граничной точки занимает десять секунд и наверняка выявит забытую смену знака.

Двойные неравенства: «и» и «или»

Двойное неравенство вроде $-3 \le 2x + 1 < 9$ означает, что выполняются оба условия. Его решают, применяя одно и то же преобразование одновременно ко всем трём частям.

Решение — $[-2, 4)$, общая часть обоих условий. Условие с «или», например $x < -1$ или $x \ge 3$, — это объединение двух частей, и его записывают как $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$.

Неравенства с модулем

Модуль $|A|$ — это расстояние от $A$ до нуля. Расстояние меньше $k$ означает близость к нулю, что даёт один промежуток; расстояние больше $k$ означает удалённость, что даёт две части. При $k > 0$:

Если $k$ отрицательно, у $|A| < k$ нет решений, а $|A| > k$ верно для всех действительных чисел, потому что модуль никогда не бывает отрицательным.

Квадратные неравенства и метод интервалов

Не пытайтесь извлекать корень в неравенстве. Вместо этого перенесите всё в одну часть, найдите, где выражение обращается в ноль, и исследуйте его знак между этими точками.

На графике $y = x^2 - x - 6$ — парабола с ветвями вверх, которая вне своих корней лежит выше оси x, что согласуется с методом интервалов. Калькулятор квадратных уравнений найдёт корни, если их трудно получить разложением.

Дробно-рациональные неравенства

Если неизвестное стоит в знаменателе, никогда не умножайте обе части на этот знаменатель: вы не знаете, положителен он или отрицателен. Вместо этого используйте таблицу знаков с нулями числителя и знаменателя.

Неравенства с двумя неизвестными

Неравенство вроде $y > 2x + 1$ задаёт область на плоскости. Постройте граничную прямую $y = 2x + 1$, пунктиром для строгого неравенства и сплошной линией для $\le$ или $\ge$, а затем заштрихуйте полуплоскость, которая ему удовлетворяет. Быстрее всего проверить начало координат: $0 > 1$ неверно, поэтому заштрихуйте сторону, не содержащую $(0, 0)$. Построитель графиков рисует такие неравенства напрямую.

Частые ошибки

• Забыть поменять знак после умножения или деления на отрицательное число.
• Умножать на выражение, содержащее неизвестное, знак которого неизвестен.
• Записывать $|x - 4| < 3$ только как $x - 4 < 3$, теряя нижнюю границу.
• Ставить квадратную скобку у бесконечности или не ту скобку у граничной точки.
• Включать значение, при котором знаменатель обращается в ноль.

Калькулятор неравенств показывает каждый шаг и запись промежутками. Шаги решения уравнений, которые здесь постоянно нужны, описаны в статье как решать линейные уравнения.

Прикладная задача с неравенством

Неравенства появляются всякий раз, когда в ситуации есть предел, минимум или бюджет. Обороты вроде «не меньше», «не больше», «самое большее» и «свыше» подсказывают нужный знак: «не меньше» означает $\ge$, «самое большее» и «не больше» означают $\le$, а «свыше» или «больше чем» означают $>$.

Условие задачи добавило ограничение, которого одна алгебра не давала. Настоящие задачи часто требуют $t \ge 0$ или условия целочисленности, поэтому всегда спрашивайте себя, какие значения имеют смысл, прежде чем записать окончательный промежуток.

Проверка ответа, записанного промежутками

В решении неравенства есть три составляющие, в которые могут закрасться ошибки: граничные значения, входит ли каждая граничная точка и с какой стороны от граничной точки лежит решение. Проверяйте их в этом порядке. Подставьте каждую граничную точку в исходное неравенство, чтобы увидеть, получается ли равенство, ведь это показывает, входит ли точка в решение. Затем проверьте одно значение в каждом промежутке вашего решения и одно вне его.

В примере с дробью $x = 1$ даёт $\frac{0}{3} = 0$, и $0 \le 0$ верно, значит, 1 входит в решение. При $x = -2$ выражение не определено, поэтому $-2$ остаётся исключённым, хотя неравенство и допускает равенство. Эти две проверки подтверждают скобки в $(-2, 1]$.

Частые вопросы