Калькулятор неравенств

О калькуляторе неравенств

Уравнение спрашивает, где два выражения равны; неравенство — где одно больше или меньше другого. Ответом редко бывает одно число, чаще это множество чисел, например все $x$ между 2 и 3. Правильно записать это множество, с нужными круглыми и квадратными скобками и концами, — именно здесь теряется больше всего баллов.

Калькулятор решает линейные неравенства вроде $3x - 5 \ge 7$ , алгебраические вроде $x^2 - 5x + 6 < 0$ , дробно-рациональные вроде $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , двойные вроде $-3 < 2x + 1 \le 9$ и неравенства с модулем вроде $|x - 4| < 3$ . Он всегда показывает, какие точки делят числовую прямую, и проверяет каждый промежуток, чтобы вы понимали, почему ответ именно такой.

Что такое неравенство?

Неравенство сравнивает два выражения с помощью одного из знаков $<$ , $>$ , $\le$ или $\ge$ . Множество его решений состоит из всех значений переменной, при которых сравнение верно. Для $x + 2 > 5$ множество решений — все числа больше 3, что записывается как $(3, \infty)$ .

Круглая скобка означает, что конец не входит в промежуток, а квадратная — что входит. Бесконечность никогда не включается, потому что это не число, которого можно достичь. Отдельные части соединяются знаком объединения, как в $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

Как пользоваться калькулятором неравенств

Введите неравенство с <, >, <= или >=, например x^2 - 5x + 6 < 0 или 2x + 3 >= 7.
Двойное неравенство записывайте в одну строку, например -3 < 2x + 1 <= 9.
Для модуля используйте abs(), например abs(x - 4) < 3.
Нажмите «Решить». Посмотрите критические точки и знаки на промежутках, затем прочитайте множество решений в виде промежутков.

Формулы

Смена знака неравенства

a < b \text{ и } k < 0 \Rightarrow ka > kb

При умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

Модуль меньше числа

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Модуль больше числа

|u| > c \iff u < -c \ \text{или}\ u > c

Знак произведения

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Разобранный пример: x² − 5x + 6 < 0

В примере неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ раскладывается как $(x - 2)(x - 3) < 0$ . Критические точки 2 и 3 делят числовую прямую на три промежутка, и калькулятор проверяет по одному значению в каждом.

Произведение отрицательно только на среднем промежутке, а концы не входят, потому что неравенство строгое: ответ — интервал $(2, 3)$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

(2, 3)

Как мы поняли вашу задачу

Решаем неравенство и записываем ответ в виде промежутков.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Пошаговое решение

Переносим всё в одну часть и раскладываем на множители
Для метода интервалов нужен вид f(x) в сравнении с 0, записанный как произведение или частное множителей.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Находим критические точки
Знак может меняться только в точках 2 (нуль), 3 (нуль).
Проверяем по одной точке в каждом промежутке (метод интервалов)
(-∞, 2): проверка x = 1 → знак + → не входит; (2, 3): проверка x = 2.5 → знак − → входит; (3, ∞): проверка x = 4 → знак + → не входит
Решаем, входят ли концы
2: не входит; 3: не входит
Записываем множество решений
$x \in (2, 3)$

Использованные формулы

Смена знака неравенства
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Модуль
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ или } A > c$

Неравенство выполняется ровно при x из (2, 3). Точки, где выражение не определено, никогда не включаются, а концы включаются только при ≤ или ≥, если выражение в них равно нулю.

Проверка

x = 1: не удовлетворяет неравенству.
x = 2.5: удовлетворяет неравенству.
x = 4: не удовлетворяет неравенству.

Подробное объяснение

Линейные неравенства

Линейное неравенство решают как уравнение, но с одним дополнительным правилом: всякий раз, когда обе части умножают или делят на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный. Из $-2x > 6$ следует $x < -3$ , потому что умножение на $-\tfrac12$ меняет порядок чисел на числовой прямой.

Причина в том, что смена знака числа равносильна отражению числовой прямой. Если $5 > 2$ , то $-5 < -2$ . Прибавление или вычитание одного и того же числа в обеих частях направление неравенства никогда не меняет.

Метод интервалов

В алгебраических и дробно-рациональных неравенствах перенесите всё в одну часть, чтобы в другой остался ноль. Затем найдите критические точки: нули числителя, а для дробей ещё и нули знаменателя. Многочлен может сменить знак только в своём нуле, поэтому между двумя соседними критическими точками его знак постоянен.

Возьмите на каждом промежутке любое пробное значение и определите знак. Оставьте промежутки, знак на которых соответствует неравенству. В конце решите судьбу каждого конца: нули числителя входят в ответ при $\le$ или $\ge$ , а нули знаменателя не входят никогда, потому что там выражение не определено.

Кратные корни требуют внимания. В $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ множитель $(x - 1)^2$ никогда не меняет знак, поэтому по обе стороны от $x = 1$ выражение имеет один и тот же знак. Метод интервалов с пробными точками учитывает это автоматически, а упрощённое правило «знаки просто чередуются» здесь ошибается.

Двойные неравенства и неравенства с модулем

Двойное неравенство вроде $-3 < 2x + 1 \le 9$ решают, выполняя одно и то же действие сразу со всеми тремя частями, и получают $-2 < x \le 4$ . Неравенство с модулем сводится к двойному: $|x - 4| < 3$ означает, что расстояние от $x$ до 4 меньше 3, то есть $1 < x < 7$ .

Типичные ошибки

Забывать менять знак неравенства после умножения или деления на отрицательное число.
Умножать обе части на выражение вроде $x - 2$ , знак которого неизвестен. Используйте метод интервалов.
Включать в ответ значение, обращающее знаменатель в ноль.
Закрывать промежуток квадратной скобкой со стороны бесконечности.
Записывать $|x| > 3$ как $-3 > x > 3$ , чему не удовлетворяет ни одно число; имеется в виду $x < -3$ или $x > 3$ .

Советы

Прежде чем раскладывать на множители, добейтесь, чтобы в одной части был ноль.
Всегда рисуйте числовую прямую с критическими точками: это предотвращает большинство ошибок с концами промежутков.
Проверьте в исходном неравенстве одно значение из ответа и одно, которое в него не входит.
Строгие неравенства дают невключённые концы; нестрогие включают нули числителя.

Частые вопросы

Почему при делении на отрицательное число знак неравенства меняется?

Умножение на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой. 5 больше 2, но минус 5 меньше минус 2, поэтому сравнение нужно перевернуть, чтобы оно осталось верным.

Что такое запись в виде промежутков?

Это способ записать множество решений с помощью круглых и квадратных скобок. Круглая скобка исключает конец, квадратная включает его, а части соединяются знаком объединения.

Как решить квадратное неравенство?

Перенесите всё в одну часть, разложите на множители или найдите корни, отметьте их на числовой прямой, проверьте по одному значению на каждом промежутке и оставьте промежутки с подходящим знаком.

Почему в дробно-рациональных неравенствах некоторые концы не входят в ответ?

Значения, обращающие знаменатель в ноль, делают выражение неопределённым, поэтому они никогда не входят в решение, даже при знаках «меньше или равно» и «больше или равно».

Может ли неравенство не иметь решений?

Да. Например, x в квадрате плюс 1 меньше 0 не имеет действительных решений, потому что x в квадрате плюс 1 всегда положительно. Калькулятор выдаёт пустое множество.

Может ли неравенство выполняться при всех действительных числах?

Да. Например, x в квадрате больше или равно 0 при любом действительном x, и калькулятор отвечает всей числовой прямой.

Попробуйте калькулятор неравенств

Введите неравенство и получите критические точки, знаки на промежутках и ответ в виде промежутков.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель