Область определения и множество значений функции

О калькуляторе области определения и множества значений

Прежде чем строить график функции, обращать её или решать с ней уравнение, нужно знать, какие входы она допускает и какие значения может выдавать. Эти два множества — область определения и множество значений. Поиск области определения сводится в основном к выявлению запрещённых действий; множество значений найти труднее, потому что нужно понять, каких высот график действительно достигает.

Калькулятор находит оба множества для многочленов, дробно-рациональных функций, корней, логарифмов, показательных функций, функций с модулем и основных тригонометрических функций. Он выписывает каждое ограничение, решает его, а затем исследует функцию на каждой части области определения, чтобы собрать множество значений. Ответы записываются промежутками, по возможности с точными границами.

Что такое область определения и множество значений?

Область определения функции — это множество всех входов $x$ , при которых формула функции даёт действительное число. Множество значений — это множество всех выходов $f(x)$ , которые получаются, когда $x$ пробегает область определения. На графике область определения — это тень кривой на оси $x$ , а множество значений — её тень на оси $y$ .

Действительные формулы ограничивают три действия: деление, запрещающее нулевой знаменатель; корни чётной степени, требующие неотрицательного подкоренного выражения; и логарифмы, аргумент которых должен быть строго положительным. Функция без этих действий, например любой многочлен, определена при всех действительных числах.

Как пользоваться калькулятором области определения и множества значений

Введите функцию от $x$ , например (x + 1)/(x - 2), sqrt(x - 3) или log(x + 2).
Нажмите «Найти область определения и множество значений».
Прочитайте список ограничений и то, как решается каждое из них.
Следите за шагами нахождения множества значений, в которых функция исследуется на каждом промежутке области определения.
Запишите область определения и множество значений в виде промежутков.

Формулы

Знаменатель

\frac{p(x)}{q(x)}:\; q(x) \neq 0

Корень чётной степени

\sqrt{u(x)}:\; u(x) \geq 0

Логарифм

\ln u(x):\; u(x) > 0

Вершина параболы

f(x) = ax^2 + bx + c:\; x_v = -\frac{b}{2a}

Разобранный пример: (x + 1)/(x − 2)

В примере исследуется $f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ . Единственное ограничение — знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x = 2$ исключается из области определения.

Чтобы найти множество значений, алгоритм рассматривает каждую сторону от исключённой точки отдельно. На обеих частях функция приближается к горизонтальной асимптоте $y = 1$ , никогда не достигая этого значения, поэтому 1 — единственное значение, которого нет во множестве значений.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

D = (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty),\quad R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)

Как мы поняли вашу задачу

Найдём все действительные x, при которых f(x) = (x + 1) / (x - 2) определена (область определения), и все значения, которые она принимает (множество значений).

f(x) = \frac{x+1}{x-2}

Пошаговое решение

Записываем функцию
$f(x) = \frac{x+1}{x-2}$
Выписываем ограничения
знаменатель (x - 2) не может быть равен 0.
Решаем (x - 2) ≠ 0
Выражение может менять знак только в 2. Проверка значения на каждом промежутке даёт множество решений (-∞, 2) ∪ (2, ∞).
$x-2 \ne 0 \iff x \in (-\infty,\ 2) \cup (2,\ \infty)$
Множество значений на (-∞, 2)
при x → -∞, f → 1; при x → 2⁻, f → -∞. Внутри этого промежутка нет точек экстремума, поэтому f на нём монотонна или постоянна. Функция непрерывна на этом промежутке, поэтому принимает все значения между наименьшим (-∞, не достигается) и наибольшим (1, не достигается).
$f\big((-\infty,\ 2)\big) = (-\infty,\ 1)$
Множество значений на (2, ∞)
при x → 2⁺, f → ∞; при x → ∞, f → 1. Внутри этого промежутка нет точек экстремума, поэтому f на нём монотонна или постоянна. Функция непрерывна на этом промежутке, поэтому принимает все значения между наименьшим (1, не достигается) и наибольшим (∞, не достигается).
$f\big((2,\ \infty)\big) = (1,\ \infty)$
Объединяем части
$R = (-\infty,\ 1) \cup (1,\ \infty)$

Использованные формулы

Ограничения
$\tfrac{p}{q}: q \ne 0,\quad \sqrt{u}: u \ge 0,\quad \ln u: u > 0$

Область определения находим, решая каждое ограничение в формуле и пересекая множества решений. Множество значений следует из непрерывности: на каждом промежутке области определения функция принимает все значения между своими экстремальными значениями и пределами на концах промежутка.

Проверка

Область определения проверена примерно в 4,000 контрольных точках: f действительно и конечно ровно там, где указывает область определения ✓
Каждое вычисленное значение f лежит в найденном множестве значений ✓

Подробное объяснение

Нахождение области определения

Начните со всех действительных чисел и уберите всё запрещённое. Потребуйте, чтобы каждый знаменатель был отличен от нуля, каждое выражение под квадратным корнем было неотрицательным, а каждый аргумент логарифма — строго положительным, а затем пересеките результаты. Для $\sqrt{4 - x^2}$ условие $4 - x^2 \geq 0$ даёт отрезок $[-2, 2]$ . Для $\frac{1}{x^2 - 4}$ исключаются две точки, и область определения распадается на три промежутка.

Не упрощайте заранее. $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ сокращается до $x + 1$ , но $x = 1$ остаётся исключённым из исходной функции, и калькулятор указывает область определения с этой выколотой точкой.

Нахождение множества значений

Множество значений зависит от формы графика. Парабола достигает экстремального значения в вершине: у $x^2 - 4x + 1$ вершина находится при $x = 2$ со значением $-3$ , поэтому множество значений — $[-3, \infty)$ . Квадратный корень начинается с нуля и растёт, поэтому у $\sqrt{x - 3}$ множество значений $[0, \infty)$ . Логарифм принимает любое действительное значение, а $e^x$ — любое строго положительное.

Для дробно-рациональных функций калькулятор работает по частям: он определяет, где функция возрастает или убывает и к какому значению стремится на концах каждого промежутка. Так он устанавливает, что у $\frac{1}{x^2}$ множество значений $(0, \infty)$ , а $\frac{x}{x^2 + 1}$ остаётся между $-\frac12$ и $\frac12$ . Если множество значений нельзя надёжно найти, как для $\tan x$ , калькулятор сообщает, что оно не вычислено, вместо того чтобы угадывать.

Как читать запись промежутками

Калькулятор использует квадратные и круглые скобки: квадратная скобка включает границу, круглая исключает её; у бесконечности всегда стоит круглая скобка. Знак $\cup$ объединяет отдельные части, поэтому $(-\infty, 2) \cup (2, \infty)$ означает все действительные числа, кроме 2. В российских учебниках концы промежутка обычно разделяют точкой с запятой, но смысл записи тот же. В такой форме результаты легко сравнивать с графиком.

Типичные ошибки

Сокращать дробно-рациональную функцию до поиска области определения и терять выколотую точку.
Использовать $> 0$ для квадратного корня (ноль допустим) или $\geq 0$ для логарифма (ноль недопустим).
Считать, что множество значений — все действительные числа только потому, что такова область определения.
Забывать, что горизонтальная асимптота может исключать значение из множества значений.
Ставить квадратную скобку у бесконечности.

Советы

Прежде чем что-либо решать, выпишите все знаменатели, подкоренные выражения и аргументы логарифмов.
Постройте график в построителе графиков, чтобы наглядно подтвердить множество значений.
Для квадратичной функции найдите вершину: множество значений начинается или заканчивается на её $y$ -координате.
Помните, что множество значений $f$ становится областью определения обратной функции.
Проверяйте границу, подставляя её в функцию.

Частые вопросы

Как найти область определения функции?

Начните со всех действительных чисел и уберите значения, при которых знаменатель равен нулю, под корнем чётной степени оказывается отрицательное число или аргумент логарифма не больше нуля. Оставшееся и есть область определения.

Как найти множество значений функции?

Определите, какие значения действительно достигаются, используя вершину, асимптоты, промежутки монотонности и поведение на концах каждой части области определения.

Какова область определения многочлена?

Все действительные числа, (−∞, ∞), потому что в многочлене нет деления на x, корней и логарифмов.

Почему 1 не входит во множество значений (x + 1)/(x − 2)?

У графика есть горизонтальная асимптота y = 1. Уравнение (x + 1)/(x − 2) = 1 приводит к 1 = −2, что невозможно: функция никогда не принимает значение 1.

Что означают квадратные и круглые скобки в записи промежутков?

Квадратная скобка означает, что граница включена, круглая — что исключена. Бесконечность никогда не включается, поэтому у неё всегда круглая скобка.

Работает ли калькулятор с тригонометрическими функциями?

Да, в обычных случаях. Он устанавливает, что у sin x множество значений [−1, 1], а tan x исключает точки π/2 плюс кратные π, и сообщает, если множество значений не вычислено.

Что означает log в калькуляторе?

log(x) обозначает натуральный логарифм, поэтому log(x + 2) определён при x > −2 и принимает любое действительное значение.

Попробуйте калькулятор области определения и множества значений

Введите функцию и получите область определения и множество значений в виде промежутков шаг за шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор области определения и множества значений