Калькулятор алгебраических дробей

О калькуляторе алгебраических дробей

Алгебраические, или рациональные, дроби — это дроби, у которых числитель и знаменатель являются многочленами, например $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Они ведут себя как обычные дроби: всё, что вы знаете о сокращении, приведении к общему знаменателю и делении на дробь, остаётся в силе. Разница в том, что теперь нужно раскладывать многочлены на множители и следить за значениями $x$ , при которых знаменатель обращается в ноль.

Калькулятор выполняет пять действий с алгебраическими дробями от одной переменной: сокращение, сложение, вычитание, умножение и деление. Он раскладывает все числители и знаменатели на множители над рациональными числами, при необходимости находит общий знаменатель, сокращает общие множители и указывает недопустимые значения окончательного ответа, о которых часто забывают в решениях.

Что такое алгебраическая дробь?

Алгебраическая дробь — это отношение $\frac{P(x)}{Q(x)}$ двух многочленов, где $Q$ не является нулевым многочленом. При $Q(x) = 0$ она не определена: её область допустимых значений — все действительные числа, кроме корней знаменателя.

Две алгебраические дроби равны, если совпадают во всех точках, где обе определены. Сократить дробь — значит заменить её равной несократимой дробью, у числителя и знаменателя которой нет общего множителя. Поскольку при сокращении множитель может исчезнуть из знаменателя, недопустимые значения исходной дроби нужно явно сохранить.

Как пользоваться калькулятором алгебраических дробей

Выберите сокращение, сложение, вычитание, умножение или деление.
Введите первую дробь в поле A, заключив числитель и знаменатель в скобки, например (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Для четырёх арифметических действий введите вторую дробь в поле B, например 2/(x + 1).
Нажмите «Вычислить» и следите за шагами разложения на множители, приведения к общему знаменателю и сокращения.
Запишите ответ вместе с его недопустимыми значениями.

Формулы

Сокращение

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Сложение при одинаковых знаменателях

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Умножение

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Деление

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Разобранный пример: Сократить (x² − 9)/(x² + 5x + 6)

В примере дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ сокращается до несократимой. Калькулятор узнаёт в числителе разность квадратов, а в знаменателе — раскладываемый квадратный трёхчлен, и у них есть общий множитель $x + 3$ .

После сокращения калькулятор указывает два недопустимых значения: $-3$ и $-2$ . Значение $-3$ уже не обращает в ноль сокращённый знаменатель, но было запрещено в исходной дроби, поэтому оно остаётся исключённым.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\frac{x - 3}{x + 2}

Как мы поняли вашу задачу

Сокращаем алгебраическую дробь до несократимой.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Пошаговое решение

Записываем в виде одной дроби
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Раскладываем числитель и знаменатель на множители
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Сокращаем общий множитель
Множитель x + 3 есть и в числителе, и в знаменателе. Его сокращение не меняет значения там, где исходное выражение определено.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Указываем исключённые значения
Исходное выражение не определено там, где какой-либо знаменатель (или делитель) равен нулю: x ≠ -3, x ≠ -2. Эти ограничения сохраняются, даже если множитель сократился.

Использованные формулы

Сокращение
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

После полного сокращения результат равен (x - 3)/(x + 2). Исключённые значения: x ≠ -3, x ≠ -2.

Проверка

Упрощённый вид сравнён с исходным в четырёх пробных точках, значения совпадают.

Подробное объяснение

Сложение и вычитание

Чтобы сложить алгебраические дроби, их приводят к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель — произведение всех различных множителей знаменателей, каждого в наибольшей степени, в которой он встречается. Для $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ общий знаменатель равен $(x - 1)(x + 1)$ ; каждый числитель умножается на дополнительный множитель, которого не хватает его знаменателю, и получается $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

Вычитание устроено так же, но вычитается весь второй числитель: заключите его в скобки, прежде чем раскрывать знак минус. После приведения подобных разложите новый числитель на множители, чтобы увидеть, не сокращается ли какой-нибудь множитель с общим знаменателем.

Умножение и деление

Для умножения общий знаменатель не нужен. Сначала разложите всё на множители, сократите каждый множитель, который встречается и в числителе, и в знаменателе, а затем перемножьте оставшееся. Сокращение до умножения не даёт многочленам разрастаться.

Чтобы разделить, умножьте на дробь, обратную второй. Это добавляет новое ограничение: числитель делителя не может быть равен нулю, ведь после переворачивания он становится знаменателем. $\frac{x}{x + 2}$ , делённое на $\frac{x - 1}{x + 2}$ , даёт $\frac{x}{x - 1}$ с недопустимыми значениями $x \neq -2$ и $x \neq 1$ .

Почему важны недопустимые значения

Недопустимые значения — не пустая формальность. График $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ выглядит как график $\frac{x - 3}{x + 2}$ , но имеет выколотую точку при $x = -3$ и вертикальную асимптоту при $x = -2$ . При решении дробно-рациональных уравнений кандидат в решения, совпадающий с недопустимым значением, не является настоящим решением и должен быть отброшен.

Типичные ошибки

Сокращать слагаемые вместо множителей, например вычёркивать $x$ в $\frac{x + 2}{x}$ .
Складывать числители и знаменатели по отдельности: $\frac1x + \frac1y$ не равно $\frac{2}{x + y}$ .
При вычитании забывать применить минус ко всему второму числителю.
Терять недопустимые значения после сокращения общего множителя.
При делении переворачивать первую дробь вместо второй.

Советы

Прежде всего полностью разложите на множители все числители и знаменатели.
Оставляйте общий знаменатель в виде произведения; если раскрыть скобки слишком рано, сокращать станет труднее.
До сокращения выпишите недопустимые значения всех знаменателей, включая числитель делителя.
Проверяйте ответ, подставив значение вроде $x = 5$ в исходную и сокращённую дробь.
Воспользуйтесь калькулятором области определения и области значений, чтобы увидеть полную область определения результата.

Частые вопросы

Как сократить алгебраическую дробь?

Полностью разложите числитель и знаменатель на множители, сократите общие множители и укажите значения x, обращающие в ноль исходный знаменатель, как недопустимые.

Что такое недопустимое значение?

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в ноль, так что выражение в этой точке не определено. Недопустимые значения исходной дроби остаются недопустимыми и после сокращения.

Как найти общий знаменатель?

Разложите каждый знаменатель на множители и перемножьте все различные множители, каждый в наибольшей степени, в которой он встречается хотя бы в одном знаменателе.

Почему нельзя сократить x в (x + 2)/x?

В числителе x — слагаемое, а не множитель всего числителя. Сокращать можно только множители, на которые умножен весь числитель и весь знаменатель.

Как делить алгебраические дроби?

Умножьте первую дробь на дробь, обратную второй, затем разложите на множители и сократите. Числитель второй дроби добавляет новые недопустимые значения, потому что становится знаменателем.

Работает ли калькулятор с несколькими переменными?

Калькулятор работает с алгебраическими дробями от одной переменной. Для многочленов от нескольких переменных воспользуйтесь калькулятором упрощения выражений.

Чем выколотая точка отличается от асимптоты?

Выколотая точка возникает там, где множитель сокращается между числителем и знаменателем. Вертикальная асимптота возникает там, где множитель остаётся в знаменателе после сокращения.

Попробуйте калькулятор алгебраических дробей

Сокращайте, складывайте, вычитайте, умножайте и делите алгебраические дроби с недопустимыми значениями на каждом шаге.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель