Композиция функций — вычисление f(g(x)) по шагам

О калькуляторе композиции функций

Композиция соединяет две функции цепочкой, так что результат одной становится входом другой. Так из простых функций получаются сложные: $\sqrt{x - 4}$ — это квадратный корень, применённый после вычитания 4, а $(2x - 3)^2 + 1$ — возведение в квадрат и прибавление единицы после линейной функции. Умение видеть эти слои необходимо для правила дифференцирования сложной функции, для обратных функций и для моделирования процессов, идущих в несколько этапов.

Калькулятор подставляет одну функцию в другую, раскрывает скобки, упрощает результат и находит область определения композиции, включая ограничения, идущие от внутренней функции. Если ввести значение, он также вычислит композицию в этой точке изнутри наружу, чтобы было видно, как число проходит через каждую функцию.

Что такое композиция функций?

Композиция $f$ и $g$ , записываемая $(f \circ g)(x)$ и читаемая «f после g» или «композиция f и g», определяется как $f(g(x))$ : сначала применяется $g$ , а затем к результату применяется $f$ . Функция, стоящая справа, действует первой, то есть против направления чтения.

Композиция не коммутативна. Для $f(x) = x^2$ и $g(x) = x + 1$ получаем $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , тогда как $g(f(x)) = x^2 + 1$ . Функцию можно составить и с самой собой: $f \circ f$ применяет $f$ дважды.

Как пользоваться калькулятором композиции функций

Введите внешнюю функцию f(x) и вторую функцию g(x), обе от $x$ .
Выберите композицию: f∘g, g∘f, f∘f или g∘g.
При желании введите значение $x$ , чтобы вычислить композицию в этой точке.
Нажмите «Составить композицию», чтобы увидеть подстановку, упрощённый результат и его область определения.
Сравните с обратным порядком, чтобы увидеть, как меняется результат.

Формулы

Определение

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Область определения композиции

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Ассоциативность

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Проверка обратных функций

f(f^{-1}(x)) = x

Разобранный пример: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, при x = 2

В примере используются $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = 2x - 3$ и составляется $f \circ g$ . Каждый $x$ в $f$ заменяется всем выражением $2x - 3$ , что даёт $(2x - 3)^2 + 1$ , то есть $4x^2 - 12x + 10$ после раскрытия скобок.

Кроме того, пример вычисляет значение при $x = 2$ . По шагам $g(2) = 1$ и $f(1) = 2$ ; упрощённая формула даёт $16 - 24 + 10 = 2$ , то же значение. Обе функции — многочлены, поэтому область определения — все действительные числа.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

Как мы поняли вашу задачу

Найдём (f ∘ g)(x) = f(g(x)) и вычислим значение.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Пошаговое решение

Записываем функции
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) означает f(g(x)): подставляем g(x) вместо каждого x в f
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Подставляем
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Область определения: x должно быть допустимо в g, а g(x) — допустимо в f
$\text{Область определения } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Вычисляем изнутри наружу при x = 2: сначала g(2) = 1
$g(2) = 1$
Затем f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Использованные формулы

Композиция
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Композиция подаёт результат g на вход f. Порядок важен: в f∘g сначала применяется g, и обычно она отличается от g∘f. Область определения находим до упрощения, потому что сокращение множителей может скрыть значения, недопустимые для композиции.

Проверка

Проверено: f(g(x)) и итоговая формула совпадают в контрольных точках.
Проверено: упрощённая формула тоже даёт 2 при x = 2.

Подробное объяснение

Правильная подстановка

Надёжнее всего составлять композицию, записав внешнюю функцию с пустыми скобками вместо $x$ , например $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , а затем поставив всё внутреннее выражение в каждую пару скобок. Скобки важны: заменив $x$ в $x^2$ на $2x - 3$ , вы получаете $(2x - 3)^2$ , а не $2x - 3^2$ .

После подстановки раскройте скобки и приведите подобные слагаемые. Калькулятор сначала показывает неупрощённую подстановку, чтобы её можно было сравнить со своей записью, а затем упрощённую форму.

Нахождение области определения

Вход принадлежит области определения $f \circ g$ , только если его допускает $g$ и если $f$ допускает то, что выдаёт $g$ . Для $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = x - 4$ функция $g$ принимает любое число, но $f$ требует неотрицательного входа, поэтому $x - 4 \geq 0$ , и область определения равна $[4, \infty)$ .

Ограничения внутренней функции сохраняются, даже если упрощение их скрывает. При $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$ композиция упрощается до $x$ , но допустимы только $x \geq 0$ , потому что сначала должна быть определена $g$ . Поэтому область определения находят по обоим этапам, а не только по итоговой формуле.

Где применяется композиция

Производную сложной функции находят по правилу $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Распознать внутреннюю и внешнюю функции — первый шаг к его применению. Композиция описывает также перевод единиц, последовательные изменения в процентах и сдвиги графиков: $f(x - 2)$ — это $f$ в композиции со сдвигом на две единицы вправо.

Разложение — обратный навык: для $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ выбирают внутреннюю функцию $g(x) = 3x + 7$ и внешнюю $f(x) = \sqrt{x}$ , так что $h = f \circ g$ . Часто допустимо несколько разложений, и лучшее из них то, которое облегчает следующий шаг, например дифференцирование или обращение. Тренируясь с калькулятором в обе стороны, вы привыкнете видеть в функциях слои.

Типичные ошибки

Применять функции в неправильном порядке; в $f(g(x))$ первой действует внутренняя функция $g$ .
Перемножать функции вместо композиции: $f(g(x))$ — это не $f(x)\,g(x)$ .
Забывать скобки при подстановке, из-за чего меняются степени и знаки.
Находить область определения только по упрощённой формуле и терять ограничения внутренней функции.
Считать, что $f \circ g = g \circ f$ ; проверяйте оба порядка.

Советы

Проверяйте упрощённую композицию, проведя по шагам вычисление для простого числа.
Перед подстановкой запишите внешнюю функцию с пустыми скобками.
Сначала выпишите ограничения внутренней функции, затем внешней.
Найдите обратную функцию калькулятором обратной функции, а затем составьте композицию, чтобы убедиться, что $f(f^{-1}(x)) = x$ .
Определите внутреннюю и внешнюю функции, прежде чем дифференцировать сложную функцию.

Частые вопросы

Что означает f(g(x))?

Это значит сначала применить g к x, а затем применить f к результату. Композиция записывается как f∘g («f после g»), и функция справа всегда действует первой.

Совпадает ли f∘g с g∘f?

В общем случае нет. Для f(x) = x² и g(x) = x + 1 имеем f(g(x)) = (x + 1)², но g(f(x)) = x² + 1. С помощью калькулятора можно вычислить оба порядка.

Как найти область определения композиции?

Возьмите входы, которые допускает внутренняя функция, и оставьте только те, выходы которых допускает внешняя функция. Ограничения внутренней функции сохраняются, даже если упрощённая формула их скрывает.

Можно ли составить композицию функции с самой собой?

Да. Выберите f∘f или g∘g. Для f(x) = 2x + 1 получаем f(f(x)) = 4x + 3, поэтому f(f(3)) = 15.

Как связаны композиция и производная?

По правилу дифференцирования сложной функции производная f(g(x)) равна f′(g(x)), умноженному на g′(x). Распознать внутреннюю и внешнюю функции — первый шаг.

Вычисляет ли калькулятор композицию в точке?

Да. Введите значение x, и калькулятор будет работать изнутри наружу: сначала внутренняя функция при этом значении, затем внешняя функция от результата. Подстановка того же значения в упрощённую формулу должна дать то же число.

Как проверить, что две функции взаимно обратны?

Составьте их композицию в обоих порядках. Если и f(g(x)), и g(f(x)) упрощаются до x на своих областях определения, функции взаимно обратны.

Попробуйте калькулятор композиции функций

Введите f и g и получите упрощённую композицию, её область определения и значение в точке.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Калькулятор композиции функций