Обратные функции: как найти, построить и проверить обратную функцию

Что делает обратная функция

Функция берёт вход и выдаёт выход. Обратная функция, обозначаемая $f^{-1}$, проходит путь в обратную сторону: она берёт значение $f$ и возвращает вход, который его дал. Если $f(a) = b$, то $f^{-1}(b) = a$. Применив сначала одну, а потом другую, вы возвращаетесь в исходную точку.

Пример из жизни — перевод температур. Функция $F = \frac{9}{5}C + 32$ переводит градусы Цельсия в градусы Фаренгейта. Обратная функция $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ переводит в обратную сторону. Подставив 37 градусов Цельсия в первую, получаем 98,6 градуса Фаренгейта, а подставив 98,6 во вторую, снова получаем 37.

Обозначение требует внимания. $-1$ в $f^{-1}$ — не показатель степени. Обратная функция $f^{-1}(x)$ — это не обратная величина $\frac{1}{f(x)}$. Для $f(x) = 2x$ обратная функция равна $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, а обратная величина — $\frac{1}{2x}$.

Когда существует обратная функция?

Функцию можно обратить, только если каждое её значение получается ровно из одного входа. Такая функция называется инъективной (взаимно однозначной). Если два разных входа дают одно и то же значение, непонятно, какой из них возвращать, и на этом множестве обратной функции нет.

Функция $f(x) = x^2$ не проходит эту проверку на действительных числах, так как $f(3) = f(-3) = 9$. Обратная функция, отменяющая 9, не знала бы, вернуть 3 или $-3$. На графике это проверка горизонтальной прямой: функция инъективна тогда и только тогда, когда ни одна горизонтальная прямая не пересекает график более одного раза. Прямая $y = 9$ пересекает параболу $y = x^2$ дважды, поэтому парабола проверку не проходит.

Строго возрастающие и строго убывающие функции проходят её автоматически. Линейные функции с ненулевым угловым коэффициентом, $x^3$, $e^x$ и $\ln x$ инъективны на своей естественной области определения.

Как найти обратную функцию аналитически

1. Замените $f(x)$ на $y$.
2. Поменяйте местами $x$ и $y$ во всём выражении.
3. Решите новое уравнение относительно $y$.
4. Замените $y$ на $f^{-1}(x)$ и укажите её область определения — это множество значений $f$.

Если после перестановки $y$ встречается несколько раз, перенесите все слагаемые с $y$ в одну сторону и вынесите $y$ за скобки, как в примере 3.

Ограничение области определения

Неинъективная функция может иметь обратную, если ограничить её область определения промежутком, на котором она инъективна. Так определяются квадратный корень и обратные тригонометрические функции.

Если ограничить $f(x) = x^2$ условием $x \ge 0$, остаётся только правая половина параболы, а она инъективна. Обратная функция — $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$. При $x \le 0$ получилось бы $-\sqrt{x}$.

Обратные тригонометрические функции устроены так же. Синус не инъективен, поэтому $\arcsin x$ определяют как обратную к синусу, ограниченному на $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. Поэтому $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$, а не $\frac{5\pi}{6}$: результат должен лежать в ограниченном промежутке.

Показательные функции и логарифмы

Важнейшая пара взаимно обратных функций до математического анализа — $e^x$ и $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ при любом действительном $x$ и $e^{\ln x} = x$ при $x > 0$. В общем случае $\log_b x$ — обратная к $b^x$. Статья о логарифмах выводит из этого факта все свойства логарифмов.

Графики обратных функций

Поскольку обратная функция меняет местами входы и выходы, каждая точка $(a, b)$ графика $f$ становится точкой $(b, a)$ графика $f^{-1}$. Геометрически перестановка координат — это отражение относительно прямой $y = x$. Значит, график обратной функции — зеркальное отражение исходного графика относительно этой биссектрисы.

Это даёт быстрый эскиз обратной функции и полезную проверку: графики $e^x$ и $\ln x$ симметричны друг другу, как и графики $x^3$ и $\sqrt[3]{x}$. Особенности тоже меняются местами. Горизонтальная асимптота $f$ становится вертикальной асимптотой $f^{-1}$, как в примере 3. Если построить обе функции вместе с прямой $y = x$ в построителе графиков, симметрия станет очевидной.

Как проверить обратную функцию

Чтобы доказать, что две функции взаимно обратны, составьте их композицию в обоих порядках и упростите. Если обе композиции на соответствующих множествах дают $x$, функции взаимно обратны. Для примера 3:

Более быстрая неформальная проверка: выберите вход, примените $f$, затем обратную функцию и посмотрите, вернулся ли вход. Это не доказывает правильность формулы, но выявляет большинство ошибок. Композиция подробно объясняется в руководстве по композиции функций.

Обратные функции в математическом анализе

Если $f$ дифференцируема и инъективна, угловой коэффициент касательной к обратной функции в точке равен обратной величине углового коэффициента $f$ в соответствующей точке. Если $f(a) = b$ и $f'(a) \neq 0$, то:

Для $f(x) = x^3 + x$ имеем $f(1) = 2$ и $f'(x) = 3x^2 + 1$, поэтому $f'(1) = 4$ и $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Это работает, даже когда формулу для $f^{-1}$ найти очень трудно. Именно поэтому производная $\ln x$ равна $\frac{1}{x}$: $\ln$ — обратная функция к $e^x$.

Частые ошибки

• Считать $f^{-1}(x)$ равным $\frac{1}{f(x)}$.
• Забыть поменять местами $x$ и $y$, из-за чего исходная функция просто переписывается.
• Искать формулу для неинъективной функции, не ограничив область определения.
• После ограничения области определения выбрать неверный знак квадратного корня.
• Не указать область определения обратной функции, которая должна совпадать с множеством значений исходной.

Калькулятор обратной функции показывает шаги перестановки и решения, а затем проверяет результат композицией.

Обратные функции по таблицам и в приложениях

Формула нужна не всегда. Если таблица задаёт инъективную функцию, обратная получается перестановкой двух столбцов. Пусть служба доставки берёт плату по весу, и по тарифной таблице 1 килограмм стоит 6 долларов, 2 килограмма — 9 долларов, а 3 килограмма — 12 долларов. Обратная таблица отвечает на обратный вопрос: сколько весила посылка, если известно, сколько заплатил клиент? Оплата 9 долларов соответствует 2 килограммам. Если бы два веса стоили одинаково, обратный вопрос не имел бы однозначного ответа: это и есть условие инъективности в реальной ситуации.

Многие житейские формулы используются в обе стороны. Кредитный калькулятор находит ежемесячный платёж по сумме кредита, а обратная зависимость говорит, сколько можно занять при посильном платеже. Рецепт, пересчитанный под число порций, можно обратить, чтобы узнать, сколько порций получится из заданного количества муки. В естественных науках градуировочная кривая переводит известную концентрацию в показание прибора, а обратная функция переводит показание в концентрацию. Во всех случаях обратная функция полезна именно потому, что исходная зависимость инъективна в интересующем диапазоне.

С этой точки зрения алгебраические шаги выглядят естественно. Поменять местами $x$ и $y$ — лишь краткий способ сказать, что роли входа и выхода поменялись, а решить относительно $y$ — значит ответить на обратный вопрос.

Частые вопросы