Композиция функций: как вычислять и применять f(g(x))

Что такое композиция

Для двух функций $f$ и $g$ композиция $f \circ g$, читается «f после g», — это функция, которая сначала применяет $g$, а затем $f$ к результату:

Больше всего путаницы вызывает порядок. Функция, записанная справа, ближе всего к $x$, действует первой. Представьте конвейер: $x$ поступает в машину $g$, продукт $g(x)$ движется дальше в машину $f$, и на выходе получается $f(g(x))$. Чтобы это работало, каждое используемое значение $g$ должно быть допустимым входом для $f$.

Композиция — это не умножение. Произведение $(fg)(x)$ означает $f(x) \cdot g(x)$, то есть перемножает два значения, тогда как $(f \circ g)(x)$ подставляет одну функцию в другую. Всё решает маленький кружок.

Композиция двух формул

Чтобы найти $f(g(x))$, возьмите формулу $f$ и замените каждый $x$ всей формулой $g(x)$ в скобках. Затем упростите.

Два порядка дают совершенно разные функции. В общем случае композиция не коммутативна: $f \circ g$ и $g \circ f$ почти всегда различны, и никогда нельзя считать их равными. Зато она ассоциативна: $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$, и цепочку из трёх функций можно вычислять изнутри наружу.

При подстановке всегда заключайте внутреннюю функцию в скобки. Без них $g(2x + 3)$ при $g(x) = x^2$ легко превращается в $2x + 3^2$, а это неверно.

Вычисление композиции по числам и таблицам

Часто нужно лишь одно конкретное значение. Действуйте изнутри наружу: сначала вычислите внутреннюю функцию, а затем используйте результат как вход внешней. Формулу композиции для этого находить не нужно.

Пусть таблица даёт $g(1) = 4$, $g(2) = 0$, $g(3) = 2$ и $f(0) = 5$, $f(2) = -1$, $f(4) = 3$. Тогда $f(g(1)) = f(4) = 3$, $f(g(2)) = f(0) = 5$ и $f(g(3)) = f(2) = -1$. Если бы в таблице не было значения $f$ для числа, полученного из $g$, композиция при этом входе просто не была бы определена.

С графиками порядок действий тот же. Чтобы найти $f(g(3))$ по двум графикам, прочитайте $g(3)$ на графике $g$, найдите это значение на оси x графика $f$ и прочитайте значение функции.

Область определения сложной функции

Область определения $f \circ g$ состоит ровно из тех значений $x$, которые удовлетворяют двум условиям: $x$ лежит в области определения $g$, а $g(x)$ лежит в области определения $f$. Упрощение формулы композиции может скрыть первое условие, поэтому находите область определения по исходным функциям.

Короткий пример показывает, почему это важно. Если $f(x) = x^2$ и $g(x) = \sqrt{x}$, то $f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$, но только при $x \ge 0$. Одна формула $x$ создаёт впечатление, что допустимо любое действительное число, а это не так. Руководство по области определения и множеству значений подробнее разбирает использованные здесь ограничения.

Разложение функции

Разложение идёт в обратную сторону: для сложной функции $h$ ищут более простые функции, для которых $h = f \circ g$. Ищите внутреннее выражение, на которое действует внешняя операция.

• $h(x) = (3x - 1)^5$: внутренняя функция $g(x) = 3x - 1$, внешняя функция $f(u) = u^5$.
• $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$: внутренняя функция $g(x) = x^2 + 4$, внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$.
• $h(x) = e^{\sin x}$: внутренняя функция $g(x) = \sin x$, внешняя функция $f(u) = e^u$.
• $h(x) = \frac{1}{(x + 2)^2}$: внутренняя функция $g(x) = x + 2$, внешняя функция $f(u) = \frac{1}{u^2}$, или цепочка из трёх шагов $u = x + 2$, $v = u^2$, $w = \frac{1}{v}$.

Разложение не единственно, но самое полезное обычно имеет простую внутреннюю функцию. Обозначать внутреннюю часть через $u$ — именно тот навык, который нужен для правила дифференцирования сложной функции и для интегрирования заменой переменной.

Композиция в анализе и в обратных функциях

Две большие темы строятся на композиции. Первая — правило дифференцирования сложной функции: производная $f(g(x))$ равна $f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Для $(3x - 1)^5$ это даёт $5(3x - 1)^4 \cdot 3 = 15(3x - 1)^4$. Подробно это разобрано в руководстве по правилам дифференцирования.

Вторая: две функции взаимно обратны тогда и только тогда, когда их композиция в обоих порядках возвращает вход: $f(f^{-1}(x)) = x$ и $f^{-1}(f(x)) = x$ на соответствующих множествах. Для $f(x) = 2x + 3$ и $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$ получаем $f\left(\frac{x - 3}{2}\right) = x - 3 + 3 = x$. Так обычно проверяют обратную функцию, как объясняет руководство по обратным функциям.

Пример из жизни: скидки и купоны

Магазин даёт скидку 20%, и у вас вдобавок есть купон на 10 долларов. Пусть $d(p) = 0.8p$ — применение скидки к цене $p$, а $c(p) = p - 10$ — использование купона. Порядок имеет значение.

• Сначала купон, потом скидка: $d(c(p)) = 0.8(p - 10) = 0.8p - 8$.
• Сначала скидка, потом купон: $c(d(p)) = 0.8p - 10$.
• Для товара за 50 долларов первый порядок даёт 32 доллара, а второй — 30 долларов.

Если сначала применить процентную скидку, здесь всегда экономится 2 доллара, потому что купон не уменьшается на процент. Подобные ситуации, где один процесс питает другой, — это композиции, и они показывают, что порядок $f$ и $g$ — не просто техническая деталь.

Частые ошибки

• Применять функции в неправильном порядке: в $f(g(x))$ первой действует $g$.
• Умножать $f(x)$ на $g(x)$ вместо подстановки.
• Подставлять без скобок, особенно при степенях и знаках минус.
• Находить область определения только по упрощённой формуле и забывать значения, которые исключает внутренняя функция.
• Считать, что $f \circ g = g \circ f$.

Оба порядка и их области определения можно проверить с помощью калькулятора композиции функций, который явно показывает шаг подстановки.

Почему композиция того стоит

Почти все функции, которые встречаются вам после алгебры, получены композицией. Формула для температуры остывающего напитка, отклонения качающегося маятника или стоимости вклада обычно представляет собой простую внешнюю функцию — показательную, синус или степень, — применённую к ещё более простому внутреннему выражению. Кто видит эту структуру, может предсказать форму графика, знает, где функция определена, и выбирает правильный приём для производных и интегралов.

Композиция объясняет и преобразования графиков. Сдвиг графика $f$ на три единицы вправо даёт $f(x - 3)$, то есть композицию $f$ с внутренней функцией $x - 3$. Растяжение вдоль оси y с коэффициентом 2 даёт $2f(x)$, то есть композицию внешней функции $2u$ с $f$. С этой точки зрения преобразование внутри скобок меняет вход и действует по горизонтали, а преобразование снаружи меняет выход и действует по вертикали. Одно это наблюдение объясняет, почему горизонтальные сдвиги словно идут в неправильную сторону.

Упражнения с решениями

Решите на бумаге, а затем сравните. Каждая задача использует идею из предыдущих разделов.

1. Если $f(x) = x^2 + 1$ и $g(x) = x - 3$, найдите $f(g(x))$. Решение: $(x - 3)^2 + 1 = x^2 - 6x + 10$.
2. С теми же функциями найдите $g(f(x))$. Решение: $x^2 + 1 - 3 = x^2 - 2$.
3. Если $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = 4 - x$, найдите область определения $f(g(x))$. Решение: $4 - x \ge 0$, то есть $(-\infty, 4]$.
4. Разложите $h(x) = \ln(x^2 + 1)$. Решение: внутренняя функция $x^2 + 1$, внешняя функция $\ln u$.
5. Если $f(x) = 3x - 2$, найдите $f(f(2))$. Решение: $f(2) = 4$ и $f(4) = 10$.

Если в первой задаче у вас получилось $x^2 - 2$, вы применили функции в неправильном порядке: это ответ ко второй. Перепутать порядок — самая частая ошибка, и проверка на числе, например $x = 0$, сразу её выявляет: $f(g(0)) = f(-3) = 10$, а $g(f(0)) = g(1) = -2$.

Частые вопросы