Калькулятор обратной функции

О калькуляторе обратной функции

Обратная функция отменяет действие функции. Если $f$ переводит градусы Цельсия в градусы Фаренгейта, то обратная к ней переводит Фаренгейты обратно в Цельсии; если $f$ удваивает число и прибавляет три, то обратная вычитает три и делит пополам. Вручную для этого меняют ролями вход и выход и решают уравнение: для линейных функций это рутина, но с дробями, корнями и показательными функциями всё быстро запутывается.

Калькулятор находит $f^{-1}(x)$ для линейных, дробно-рациональных, степенных, иррациональных, показательных и логарифмических функций, а также для основных тригонометрических функций. Он показывает шаги перестановки и выражения переменной, указывает область определения обратной функции, а если $f$ не является взаимно однозначной, выбирает стандартную ветвь и сообщает об этом. Каждый результат проверяется численно: $f$ компонуется с $f^{-1}$ в контрольных точках.

Что такое обратная функция?

Функция, обратная к $f$ , — это функция $f^{-1}$ , для которой $f^{-1}(f(x)) = x$ при каждом $x$ из области определения $f$ и $f(f^{-1}(y)) = y$ при каждом $y$ из множества значений $f$ . Запись $f^{-1}$ обозначает обратную функцию, а не обратное число $\frac{1}{f}$ .

Обратимы только взаимно однозначные функции, ведь каждое значение должно получаться ровно из одного входа. По графику это проверяют горизонтальной прямой: ни одна горизонтальная прямая не должна пересекать кривую дважды. График $f^{-1}$ получается отражением графика $f$ относительно прямой $y = x$ , а область определения и множество значений меняются ролями.

Как пользоваться калькулятором обратной функции

Введите функцию от $x$ , например (2x + 3)/(x - 1), x^3 + 1 или e^x.
Нажмите «Найти обратную функцию».
Прочитайте шаги: f(x) заменяется на y, x и y меняются местами, затем выражается y.
Обратите внимание на область определения f⁻¹ и на сужение до ветви, если калькулятор его выполнил.
С помощью строк проверки убедитесь, что f и f⁻¹ взаимно отменяют друг друга.

Формулы

Определяющее свойство

f^{-1}(f(x)) = x,\quad f(f^{-1}(x)) = x

Поменять местами и выразить

y = f(x) \;\to\; x = f(y) \;\to\; y = f^{-1}(x)

Обмен области определения и множества значений

\operatorname{Dom}(f^{-1}) = \operatorname{Ran}(f)

Функция, обратная дробно-линейной

f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \;\Rightarrow\; f^{-1}(x) = \frac{dx - b}{a - cx}

Разобранный пример: (2x + 3)/(x − 1)

В примере обращается $f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}$ . После перестановки в уравнении $x = \frac{2y + 3}{y - 1}$ избавляемся от знаменателя, переносим все члены с $y$ в одну часть и выносим $y$ за скобки.

Получается $f^{-1}(x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ . Её область определения не содержит 2, потому что $f$ никогда не принимает значение 2: при росте $x$ значение $f(x)$ приближается к горизонтальной асимптоте $y = 2$ , но не достигает её.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}

Как мы поняли вашу задачу

Найдём f⁻¹ — функцию, обратную к f(x) = (2 x + 3) / (x - 1).

f(x) = \frac{2x+3}{x-1}

Пошаговое решение

Заменяем f(x) на y
$y = \frac{2x+3}{x-1}$
Умножаем обе части на знаменатель
$y(1x+-1) = 2x+3$
Собираем члены с x в одной части и выносим x за скобки
$x(1y-2) = 3--1y$
Делим, чтобы выразить x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Выразили x
$x = \frac{y+3}{y-2}$
Меняем местами x и y, чтобы записать обратную функцию
$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$
Область определения f⁻¹ — это множество значений f
$\text{Область определения } f^{-1}:\ (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

Использованные формулы

Обратная функция
$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$

Чтобы найти обратную функцию, записываем y = f(x), отменяем действия в обратном порядке, пока x не останется в одиночестве, а затем меняем буквы местами.

Проверка

Проверено: f(f⁻¹(y)) = y в 12 контрольных точках.
Проверено: f⁻¹(f(x)) = x в 12 контрольных точках.

Подробное объяснение

Почему работает приём «поменять местами и выразить»

Уравнение $y = f(x)$ задаёт все точки $(x, y)$ графика. Меняя буквы местами, вы описываете множество отражённых точек, то есть как раз график обратной функции. Выразив $y$ из нового уравнения, вы снова превращаете это множество точек в формулу функции. Метод не срабатывает, только если при выражении получается больше одного решения, а это означает, что $f$ не является взаимно однозначной.

У каждого вида функций есть обратное действие: вычитание отменяет сложение, деление отменяет умножение, кубический корень отменяет возведение в куб, $\ln$ отменяет $e^x$ , а $\log_2$ отменяет $2^x$ . Чтобы обратить $x^3 + 1$ , отменяйте эти действия в обратном порядке: сначала вычтите 1, затем извлеките кубический корень, и получится $\sqrt[3]{x - 1}$ .

Сужение области определения

Функция вроде $x^2$ не проходит проверку горизонтальной прямой: и $2$ , и $-2$ дают значение 4. Чтобы сделать её обратимой, рассматривают только часть области определения. Калькулятор использует обычную ветвь $x \geq 0$ , которая даёт $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ , и указывает сужение в ответе. Для $x^2 + 1$ та же ветвь даёт $\sqrt{x - 1}$ с областью определения $[1, \infty)$ .

Тригонометрические функции тоже сужаются стандартным образом. Для $\sin x$ калькулятор использует $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ , что даёт $\arcsin x$ на $[-1, 1]$ .

Как проверяется результат

Найдя кандидата в обратные функции, алгоритм вычисляет $f(f^{-1}(y))$ для контрольных значений $y$ из множества значений $f$ и требует, чтобы снова получалось $y$ ; иначе обратная функция не выводится. Кроме того, он вычисляет $f^{-1}(f(x))$ : если $x$ возвращается лишь для некоторых входов, то $f$ не взаимно однозначна, и в ответе указывается использованная ветвь. Так выявляются ошибки в знаках и неверные ветви, которые легко пропустить при чисто алгебраических выкладках.

Типичные ошибки

Понимать $f^{-1}(x)$ как $\frac{1}{f(x)}$ ; показатель здесь обозначает обратную функцию, а не обратное число.
Забывать поменять местами $x$ и $y$ и просто выражать $x$ из $y = f(x)$ , так что ответ зависит от $y$ .
Утверждать, что функция, обратная к $x^2$ , равна $\pm\sqrt x$ ; функция даёт только одно значение, поэтому нужно выбрать ветвь.
Не указывать область определения обратной функции, которая совпадает с множеством значений исходной.
Отменять действия в исходном порядке, а не в обратном.

Советы

Проверьте одно значение: если $f(2) = 7$ , то $f^{-1}(7)$ должно быть равно 2.
Перед обращением постройте график $f$ в построителе графиков и проверьте его горизонтальной прямой.
Для отношения линейных выражений избавьтесь от знаменателя, соберите члены с $y$ и вынесите $y$ за скобки.
Найдите множество значений $f$ калькулятором области определения и множества значений — это и будет область определения обратной функции.
С помощью калькулятора композиции функций проверьте, что $f(f^{-1}(x))$ упрощается до $x$ .

Частые вопросы

Как найти функцию, обратную данной?

Замените f(x) на y, поменяйте местами x и y, выразите y из нового уравнения и запишите результат как f⁻¹(x). Затем укажите область определения: она совпадает с множеством значений исходной функции.

У любой ли функции есть обратная?

Нет, только у взаимно однозначных функций. Функции, не проходящие проверку горизонтальной прямой, например x² или sin x, нужно сузить, чтобы они стали обратимыми.

Какую ветвь калькулятор выбирает для x²?

Он использует x ≥ 0, поэтому обратной функцией является квадратный корень. Сужение указывается в ответе, чтобы вы знали, какая ветвь использована.

Совпадает ли f⁻¹(x) с 1/f(x)?

Нет. Показатель −1 обозначает обратную функцию. Обратное число 1/f(x) — другая функция, которую обычно записывают дробью или как (f(x))⁻¹.

Какая функция обратна к e^x?

Натуральный логарифм ln x, определённый при x > 0. Аналогично функция, обратная к 2^x, — логарифм x по основанию 2.

Как связаны графики f и f⁻¹?

Они симметричны относительно прямой y = x: точке (a, b) одного графика соответствует точка (b, a) другого.

Как калькулятор проверяет обратную функцию?

Он вычисляет f(f⁻¹(y)) в нескольких контрольных точках и выводит обратную функцию, только если все значения возвращаются без изменений. Он также выполняет композицию в другом порядке, чтобы распознать случаи, когда требовалось сужение до ветви.

Попробуйте калькулятор обратной функции

Введите функцию и получите обратную, область определения f⁻¹ и проверку шаг за шагом.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель