Калькулятор многочленов

Q: Какие действия выполняет калькулятор многочленов?

Раскрытие скобок, сложение, вычитание, умножение, деление с частным и остатком, вычисление значения при заданном x по схеме Горнера и поиск действительных корней.

Q: Как разделить многочлен на многочлен?

Выберите деление, введите делимое как P и делитель как Q. Калькулятор выполнит деление уголком и покажет частное, остаток и результат в виде частного плюс остаток, делённый на делитель.

Q: О чём говорит теорема Безу?

Остаток от деления многочлена P на x минус c равен P(c). Поэтому вычисление значения многочлена в точке c — быстрый способ найти остаток или проверить, является ли c корнем.

Q: Показывает ли калькулятор многочленов комплексные корни?

Нет. Режим корней выводит только действительные корни и сообщает, если их нет. Рациональные корни точные, иррациональные выводятся приближёнными десятичными значениями.

Q: Что такое схема Горнера?

Способ вычислить значение многочлена с помощью вложенных умножений, например записав ax в кубе плюс bx в квадрате плюс cx плюс d как ((ax + b)x + c)x + d. Она требует меньше вычислений и приводит к меньшему числу ошибок, чем отдельное вычисление каждой степени.

Q: Что такое степень многочлена?

Наибольшая степень переменной с ненулевым коэффициентом. Она ограничивает число действительных корней и точек локального экстремума, которые может иметь многочлен.

Q: Можно ли использовать дроби в качестве коэффициентов?

Да. Обыкновенные и десятичные дроби переводятся в точные дроби, и все результаты остаются точными.

О калькуляторе многочленов

Многочлены — самые распространённые функции в алгебре: прямые, параболы, кубические функции и всё, что строится из целых неотрицательных степеней одной переменной. Работая с ними, постоянно повторяешь несколько действий: перемножить две скобки, разделить на линейный множитель, подставить значение переменной или найти корни. Все они механические, но в многочленах с большим числом членов легко ошибиться.

Калькулятор выполняет семь действий с многочленами от одной переменной: раскрытие скобок, сложение, вычитание, умножение, деление, вычисление значения и поиск действительных корней. Коэффициенты хранятся как точные дроби: деление даёт точные частное и остаток, а рациональные корни выводятся точно, а не округлёнными десятичными дробями.

Что такое многочлен?

Многочлен от $x$ — это сумма членов вида $a x^n$ , где каждый коэффициент $a$ — число, а каждый показатель $n$ — целое неотрицательное число. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ — многочлен; $\frac1x$ и $\sqrt x$ — нет, потому что их показатели отрицательные или дробные.

Степень — это наибольший показатель с ненулевым коэффициентом, а старший коэффициент — коэффициент этого члена. Многочлен степени $n$ имеет не более $n$ действительных корней, а его график — не более $n - 1$ точек локального экстремума, что помогает предугадать вид ответа ещё до вычислений.

Как пользоваться калькулятором многочленов

Выберите действие: раскрыть скобки, сложить, вычесть, умножить, разделить, вычислить значение или найти корни.
Введите первый многочлен P, например 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Для сложения, вычитания, умножения и деления введите второй многочлен Q, например x - 2.
Для вычисления значения введите значение $x$ в дополнительном поле.
Нажмите «Вычислить» и следите за шагами; деление уголком показывает каждое деление старших членов и каждое вычитание.

Формулы

Деление многочленов с остатком

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Теорема Безу

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Выделение линейного множителя

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ делит } P(x)

Схема Горнера

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Разобранный пример: Разделить 2x³ − 3x² + 4x − 5 на x − 2

В примере $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ делится уголком на $x - 2$ . На каждом шаге калькулятор делит старший член оставшегося многочлена на $x$ , умножает делитель на этот член и вычитает.

Три прохода дают частное $2x^2 + x + 6$ и остаток 7, а результат записывается как $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Как и предсказывает теорема Безу, исходный многочлен при $x = 2$ тоже равен 7.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

Как мы поняли вашу задачу

Делим P на Q уголком.

Пошаговое решение

Записываем P в стандартном виде
Раскрываем скобки и приводим подобные члены: степень 3, старший коэффициент 2, свободный член -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Записываем Q в стандартном виде
степень 1, старший коэффициент 1, свободный член -2
$Q(x) = x - 2$
Делим старшие члены: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Умножаем Q на 2x^2 и вычитаем. Новый остаток: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Делим старшие члены: (x^2) ÷ (x) = x
Умножаем Q на x и вычитаем. Новый остаток: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Делим старшие члены: (6x) ÷ (x) = 6
Умножаем Q на 6 и вычитаем. Новый остаток: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Останавливаемся, когда степень остатка меньше степени делителя
$\text{частное } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{остаток } 7$

Использованные формулы

Деление с остатком
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q не делится на P нацело: остаток равен 7.

Проверка

Проверка: Q·частное + остаток равно P.

Подробное объяснение

Умножение и раскрытие скобок

Чтобы перемножить два многочлена, каждый член первого умножают на каждый член второго, а затем приводят подобные. В $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ шесть произведений упрощаются до $x^3 + 1$ , суммы кубов. Калькулятор показывает полное раскрытие скобок до приведения подобных, чтобы ни одно произведение не потерялось: это обычный источник ошибок в длинных скобках.

При сложении и вычитании складываются или вычитаются только коэффициенты при одинаковых степенях. При вычитании все члены второго многочлена меняют знак, поэтому калькулятор явно записывает противоположный многочлен перед приведением.

Деление уголком и где оно применяется

Деление многочленов уголком устроено точно так же, как деление чисел столбиком. Оно заканчивается, когда степень остатка строго меньше степени делителя. Оно нужно, чтобы разложить многочлен на множители, когда известен один корень, чтобы упростить дробно-рациональные функции и чтобы найти наклонные асимптоты: частное $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ равно $x + 1$ , поэтому график приближается к прямой $y = x + 1$ .

Деление на линейный множитель $x - c$ можно сократить с помощью схемы Горнера, которая работает только с коэффициентами. По теореме Безу остаток равен $P(c)$ , и это даёт быстрый способ проверить результат.

Поиск корней

В режиме корней калькулятор сначала проверяет рациональных кандидатов $\frac pq$ , где $p$ делит свободный член, а $q$ — старший коэффициент. Каждый найденный корень выделяется как линейный множитель, и степень понижается. Если остаётся квадратный множитель, он решается через дискриминант, а оставшийся неприводимый множитель более высокой степени решается численно, и результат помечается как приближённый. Для $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ корни 1, 2 и 3 точные; для $x^3 - 2$ единственный действительный корень $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ выводится десятичной дробью.

Выводятся только действительные корни. У многочлена вроде $x^2 + 2x + 5$ дискриминант отрицателен, поэтому калькулятор сообщает, что действительных корней у него нет.

Типичные ошибки

Пропускать отсутствующую степень при делении уголком; пишите $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ , чтобы столбцы стояли друг под другом.
Вычитать при делении только первый член вместо всего произведения.
Забывать менять все знаки при вычитании многочлена.
Перемножать показатели при умножении членов вместо того, чтобы складывать: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Записывать остаток без делителя; $+7$ само по себе — не то же самое, что $+\frac{7}{x - 2}$ .

Советы

Перед любым действием упорядочивайте оба многочлена по убыванию степеней.
Проверяйте деление: умножьте частное на делитель и прибавьте остаток.
Быстро проверяйте возможный корень по теореме Безу: если $P(c) = 0$ , то $x - c$ — множитель.
Постройте график в построителе графиков, чтобы знать, сколько действительных корней ожидать.
Воспользуйтесь калькулятором разложения на множители, если многочлен нужно записать в виде произведения.

Частые вопросы

Какие действия выполняет калькулятор многочленов?