Упрощение алгебраических выражений шаг за шагом

Что на самом деле значит упростить

У выражения вроде $3(2x - 5) - 2(x - 4)$ нет знака равенства, поэтому решать здесь нечего. Упростить его — значит найти тождественно равное выражение, то есть такое, которое при каждом допустимом $x$ даёт то же значение, но при этом короче и удобнее. Здесь это $4x - 7$.

Ключевое слово — тождественно равное. Каждый шаг должен быть законным правилом, а не догадкой, которая случайно даёт красивый результат. Полезная проверка — подстановка значения: при $x = 2$ исходное выражение даёт $3(-1) - 2(-2) = -3 + 4 = 1$, и $4(2) - 7 = 1$ тоже. Совпадение в одной точке не доказывает, что выражения тождественно равны, но расхождение доказывает, что есть ошибка.

Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые содержат в точности одни и те же переменные в точности в тех же степенях; отличаться может только коэффициент. $3x^2$ и $-7x^2$ подобны. $3x^2$ и $3x$ — нет, как и $xy$ и $x^2y$.

Чтобы привести подобные слагаемые, сложите коэффициенты, а буквенную часть оставьте без изменений:

Прежде чем приводить подобные, подчеркните или выделите цветом каждую группу подобных слагаемых и берите каждое слагаемое вместе с его знаком. В $4x + 3y - x$ слагаемое — это $-x$, а не $x$.

Распределительный закон и раскрытие скобок

Распределительный закон $a(b + c) = ab + ac$ позволяет раскрывать скобки. Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое в скобке, а минус перед скобкой — это множитель $-1$.

• $-2(x - 4) = -2x + 8$, так как $-2 \times -4 = +8$.
• $-(3x - y + 1) = -3x + y - 1$.
• $(x + 2)(x - 5) = x^2 - 5x + 2x - 10 = x^2 - 3x - 10$: умножьте каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй.
• $(2x - 3)^2 = (2x - 3)(2x - 3) = 4x^2 - 12x + 9$, а не $4x^2 + 9$.

Возводить сумму в квадрат почленно, как в $(a + b)^2 = a^2 + b^2$, — одна из самых частых ошибок в алгебре. Правильная формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Свойства степеней

Произведения и частные степеней упрощают с помощью небольшого числа правил, которые верны для любого ненулевого основания:

Калькулятор степеней применяет эти правила одно за другим, если вы хотите проверить более длинное выражение.

Упрощение рациональной дроби

Рациональную дробь упрощают, полностью раскладывая числитель и знаменатель на множители и сокращая множители, которые есть в обоих. Сокращать можно только множители, но никогда не слагаемые.

Ограничение $x \neq -3$ нужно сохранить, даже если $(x + 3)$ больше не встречается, потому что при этом значении исходное выражение не определено. Чтобы сложить дроби, сначала найдите общий знаменатель:

Если разложение на множители не получается, руководство по разложению многочленов на множители объясняет все использованные здесь способы, а калькулятор рациональных дробей показывает упрощение шаг за шагом.

Упрощение корней

Выносите из-под корня множители, являющиеся полными квадратами, по правилу $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ для $a$ и $b$, больших или равных нулю. Затем приводите подобные корни так же, как подобные слагаемые.

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ и $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$, значит, $\sqrt{50} + \sqrt{18} = 8\sqrt{2}$.
• $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} = 6$.
• $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, и это не $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. Корень нельзя распределить по сумме.

Разумный порядок действий

1. Раскройте скобки по распределительному закону, следя за минусами.
2. Примените свойства степеней к произведениям, частным и степеням.
3. Приведите подобные слагаемые.
4. Полностью разложите дроби на множители и сократите общие множители, не теряя ограничений.
5. Запишите результат в привычном порядке, обычно по убыванию степеней: $3x^2 - x + 4$.
6. Сделайте быструю проверку, подставив простое значение в исходное выражение и в результат.

Ошибки, которые меняют значение

• Сокращать слагаемые вместо множителей: $\frac{x + 6}{x + 3}$ не равно ни $2$, ни $\frac{6}{3}$.
• Применять минус только к первому слагаемому в скобке.
• Складывать показатели при умножении разных оснований: $x^2 y^3$ нельзя записать одной степенью.
• Писать $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ или $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$.
• Забывать ограничения после упрощения.

Введите любое выражение в калькулятор упрощения выражений и сравните его шаги со своими. С упрощённым выражением решить соответствующее уравнение гораздо легче; прочитайте, как решать линейные уравнения.

Более длинный разобранный пример

В настоящих задачах обычно сочетаются несколько правил из перечисленных выше. Аккуратный разбор одной из них показывает, как порядок шагов держит выражение под контролем.

Заметьте, что вычитание перед $(x + 1)^2$ применили только после того, как квадрат в скобке был раскрыт. Сначала раскрыть, а потом распределить минус на все слагаемые — так вы избежите классической ошибки в знаках.

Когда выражение полностью упрощено?

У учителей и учебников есть общие соглашения об окончательном ответе. Выражение обычно считается полностью упрощённым, если не осталось скобок, которые можно раскрыть, если только не требуется разложенная форма; если нет двух подобных слагаемых; если нет отрицательных или нулевых показателей; если ни в одной дроби нет общего множителя у числителя и знаменателя; если ни один корень не содержит множителя, являющегося полным квадратом; и если ни в одном знаменателе нет корня.

Последнее правило выполняют, избавляясь от иррациональности в знаменателе. Для $\frac{6}{\sqrt{3}}$ умножьте числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: получится $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$. Обе формы имеют одно и то же значение, около $3.464$, но вторая — привычная окончательная форма.

Иногда самая простая форма зависит от цели. Раскрытая форма $x^2 - 3x - 10$ позволяет легко прочитать коэффициенты, а разложенная форма $(x + 2)(x - 5)$ сразу показывает корни. Если задача не говорит, какая форма нужна, обе равноценны, но большинство учителей ожидают для сумм раскрытую форму, а для дробей — разложенную и сокращённую.

Если два по-разному выглядящих ответа проходят проверку подстановкой для двух или трёх значений, это почти наверняка одно и то же выражение в двух записях.

Упрощение с несколькими переменными

Выражения с несколькими переменными подчиняются точно тем же правилам, но в них легче потерять слагаемое. Помогает перед приведением упорядочить слагаемые по буквенной части. В $3a^2b - 2ab^2 + 5ab - a^2b + 4ab^2$ группы подобных — это члены с $a^2b$, члены с $ab^2$ и члены с $ab$. Приведя каждую группу, вы получите $2a^2b + 2ab^2 + 5ab$. Дальше приводить нечего, потому что у каждого оставшегося слагаемого своя буквенная часть, но у всех есть общий множитель $ab$, поэтому выражение можно записать и как $ab(2a + 2b + 5)$.

Запись переменных внутри каждого слагаемого в алфавитном порядке, например $ba$ как $ab$, помогает замечать подобные слагаемые. Это также привычное соглашение для окончательных ответов.

Частые вопросы