Калькулятор разложения на множители — многочлены с подробным решением

О калькуляторе разложения на множители

Разложить многочлен на множители — значит записать его в виде произведения более простых многочленов. Это действие, обратное раскрытию скобок, и один из самых востребованных навыков алгебры: он нужен, чтобы решать квадратные и кубические уравнения, упрощать алгебраические дроби, находить нули графика и готовить интегралы к разложению на простейшие дроби.

Калькулятор раскладывает многочлены от одной переменной, такие как $6x^2 + 11x - 10$ или $x^4 - 16$ , и типичные многочлены от двух переменных, такие как $x^2 - 9y^2$ или $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Сначала он всегда выносит общий множитель, затем ищет формулы сокращённого умножения, после чего применяет метод «ac» или, для более высоких степеней, теорему о рациональных корнях. То, что нельзя разложить дальше над рациональными числами, помечается как неприводимое, а не остаётся без объяснения.

Что значит разложить многочлен на множители?

Разложить многочлен на множители — значит записать его в виде произведения, в котором каждый множитель имеет меньшую степень. Например, $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Перемножив множители, вы снова получите исходный многочлен: это самый простой способ проверить разложение.

Разложение полное, когда ни один множитель больше нельзя разложить с рациональными коэффициентами. Многочлен $x^2 - 2$ неприводим над рациональными числами, хотя и равен $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ , ведь $\sqrt2$ иррационально. В школе, как и в этом калькуляторе, работают над рациональными числами, если в задаче прямо не требуются действительные или комплексные множители.

Как пользоваться калькулятором разложения на множители

Введите многочлен, используя ^ для степеней, например 6x^2 + 11x - 10 или x^3 - 8.
Его можно записать в любом порядке или со скобками, например (x + 1)(x + 2) + 3x: калькулятор сначала раскроет скобки и упорядочит члены.
Нажмите «Разложить на множители». Первый шаг записывает многочлен в стандартном виде, по убыванию степеней.
Следите за шагами метода: общий множитель, формула сокращённого умножения или метод «ac», а для многочленов третьей и четвёртой степени — проверка рациональных корней по схеме Горнера.
В конце прочитайте полное разложение и для проверки раскройте скобки с помощью калькулятора упрощения выражений.

Формулы

Разность квадратов

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Квадрат суммы и квадрат разности

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Сумма и разность кубов

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Метод «ac»

ax^2 + bx + c:\ \text{найти } m, n \text{ при } mn = ac,\ m + n = b

Представьте $bx$ как $mx + nx$ и разложите методом группировки.

Теорема о рациональных корнях

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Кандидаты — делители свободного члена, делённые на делители старшего коэффициента.

Разобранный пример: Трёхчлен 6x² + 11x − 10

В разобранном примере раскладывается трёхчлен $6x^2 + 11x - 10$ — типичный случай, когда старший коэффициент не равен 1 и подбор занимает много времени. Калькулятор вычисляет $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ и ищет два целых числа с произведением $-60$ и суммой $11$ .

Это числа $15$ и $-4$ . Если представить средний член как $15x - 4x$ , четыре слагаемых можно сгруппировать попарно, и в каждой паре окажется общий двучлен. Для подтверждения раскройте скобки в результате.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

(3x - 2)(2x + 5)

Как мы поняли вашу задачу

Раскладываем многочлен на множители над полем рациональных чисел

6x^{2} + 11x - 10

Пошаговое решение

Записываем многочлен в стандартном виде
$6x^{2} + 11x - 10$
Применяем метод «ac»
Вычисляем a·c = 6·-10 = -60. Ищем два числа, произведение которых равно -60, а сумма равна b = 11: 15 и -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Раскладываем методом группировки
Группируем первые два и последние два члена, выносим общий множитель из каждой группы, затем выносим общий двучлен. Корни равны -5/2 и 2/3.
Записываем полное разложение
$(3x - 2)(2x + 5)$

Использованные формулы

Разность квадратов
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Квадрат суммы или разности
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Сумма и разность кубов
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Теорема о рациональных корнях
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ корень} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 полностью раскладывается над рациональными числами как (3x - 2)(2x + 5).

Проверка

Раскрыв скобки в (3x - 2)(2x + 5), снова получаем 6x^2 + 11x - 10.

Подробное объяснение

Порядок методов имеет значение

Надёжный способ разложения всегда начинается с общего множителя. Если вынести $2$ из $2x^2 - 18$ , остаётся $x^2 - 9$ , в котором затем узнаётся разность квадратов. Если пропустить этот шаг, формула останется незамеченной, и получится неполный ответ вроде $(2x - 6)(x + 3)$ , в котором ещё прячется общий множитель 2.

После общего множителя всё решает вид выражения. Два члена указывают на разность квадратов или на сумму или разность кубов; три члена — на квадрат суммы или разности либо на метод «ac»; четыре члена часто раскладываются группировкой. Начиная с третьей степени калькулятор проверяет рациональных кандидатов и делит по схеме Горнера на каждый найденный корень, всякий раз понижая степень на единицу и получая тот же результат, что и группировка, например $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Почему работает метод «ac»

Если $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , то после раскрытия скобок $pr = a$ , $qs = c$ и $ps + qr = b$ . Два числа $ps$ и $qr$ имеют произведение $pq rs = ac$ и сумму $b$ . Значит, найти два числа с произведением $ac$ и суммой $b$ — ровно то же, что найти перекрёстные члены, а группировка возвращает двучлены.

Если подходящей пары целых чисел нет, у квадратного трёхчлена нет рациональных корней, и он неприводим над рациональными числами. Это можно подтвердить дискриминантом $b^2 - 4ac$ : рациональные множители существуют тогда и только тогда, когда он является полным квадратом.

Многочлены высших степеней

Для многочлена третьей степени вроде $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ теорема о рациональных корнях сужает кандидатов до $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Проверка показывает, что $x = 1$ — корень, схема Горнера оставляет $x^2 - 5x + 6$ , а этот трёхчлен раскладывается как $(x - 2)(x - 3)$ .

Многочлены четвёртой степени без рациональных корней всё же могут раскладываться в произведение двух квадратных трёхчленов, как $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Прежде чем объявить многочлен четвёртой степени неприводимым, калькулятор ищет такие пары трёхчленов с целыми коэффициентами.

Типичные ошибки

Забывать сначала вынести общий множитель, из-за чего разложение остаётся неполным.
Считать, что $a^2 + b^2$ раскладывается над действительными числами. Сумма квадратов не раскладывается без комплексных чисел.
Ошибаться в знаках в формулах для кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , со знаком плюс у среднего члена второго множителя.
Останавливаться после одного шага, например оставлять $x^4 - 16$ в виде $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ , хотя $x^2 - 4$ ещё раскладывается.
Терять множитель $-1$ при вынесении отрицательного старшего коэффициента.

Советы

Всегда проверяйте результат, перемножая множители.
Прежде чем выбирать метод, запишите многочлен по убыванию степеней.
В методе «ac» выписывайте пары делителей $ac$ по порядку, от меньшего к большему.
Дискриминант быстро показывает, раскладывается ли квадратный трёхчлен над рациональными числами.
Если вам нужны корни, а не множители, приравняйте каждый множитель к нулю.

Частые вопросы

С чего начинать разложение многочлена на множители?

Вынесите множитель, общий для всех членов, включая общую степень переменной. Все остальные методы лучше работают с тем, что останется.

Как разложить трёхчлен, у которого старший коэффициент не равен 1?

Используйте метод «ac»: умножьте a на c, найдите два числа с таким произведением и суммой b, разбейте средний член на эти две части и разложите методом группировки.

Что значит «неприводимый»?

Многочлен неприводим над рациональными числами, если его нельзя записать как произведение многочленов меньшей степени с рациональными коэффициентами. Например, x в квадрате плюс 1 и x в квадрате минус 2 неприводимы над рациональными числами.

Раскладывает ли он многочлены третьей и четвёртой степени?

Да. Он проверяет рациональные корни по теореме о рациональных корнях, делит по схеме Горнера, а для четвёртой степени ещё и ищет разложение в произведение двух квадратных трёхчленов с целыми коэффициентами.

Раскладывает ли он выражения с двумя переменными?

Поддерживаются типичные виды от двух переменных: общий одночленный множитель, однородные многочлены вроде x в квадрате минус 5xy плюс 6y в квадрате, разности квадратов и группировка по одной переменной. Выражения с тремя и более переменными не поддерживаются.

Как разложение на множители связано с решением уравнений?

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю. Поэтому разложение многочлена, приравненного к нулю, превращает одно трудное уравнение в несколько простых.

Почему мой ответ выглядит иначе, чем в учебнике?

Множители могут стоять в любом порядке, а множитель минус один может переходить из одних скобок в другие. Раскройте скобки в обоих вариантах: если получается один и тот же многочлен, верны оба.

Попробуйте калькулятор разложения на множители

Введите многочлен и проследите каждый метод, от общего множителя до полного разложения.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Разложение многочлена на множители