Калькулятор выделения полного квадрата — вершина параболы с решением

О калькуляторе выделения полного квадрата

Выделение полного квадрата превращает выражение вроде $2x^2 - 8x + 3$ в $2(x - 2)^2 - 5$ . Вторая форма говорит гораздо больше: с первого взгляда видно, что нижняя точка параболы — $(2, -5)$ , что её ветви направлены вверх и насколько она узкая. Именно этим преобразованием выводят формулу корней квадратного уравнения и приводят уравнения окружности и эллипса к каноническому виду.

Калькулятор принимает любой старший коэффициент, в том числе обыкновенные и десятичные дроби, как в $0.5x^2 + 3x - 1$ . Для выражения он выдаёт вид с вершиной и саму вершину; для уравнения с $= 0$ или другим значением доводит решение до точных корней или объясняет, почему действительных корней нет, если парабола не пересекает ось.

Что такое вид с выделенным полным квадратом?

Полный квадрат — это трёхчлен, равный квадрату двучлена, например $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Его свободный член всегда равен квадрату половины коэффициента при $x$ . При выделении полного квадрата именно это число прибавляют и вычитают, чтобы часть выражения стала полным квадратом, то есть сворачивалась по формуле квадрата суммы или разности.

Так получается вид $a(x - h)^2 + k$ . Поскольку квадрат никогда не бывает отрицательным, $k$ — это наименьшее (при $a > 0$ ) или наибольшее (при $a < 0$ ) значение выражения, и оно достигается при $x = h$ .

Как пользоваться калькулятором выделения полного квадрата

Введите квадратный трёхчлен вроде 2x^2 - 8x + 3 или уравнение вроде x^2 - 4x - 1 = 0.
Коэффициенты могут быть целыми числами, обыкновенными или десятичными дробями.
Нажмите «Выделить полный квадрат». Калькулятор определит a, b и c, вынесет a за скобки из членов с x, а затем прибавит и вычтет квадрат половины коэффициента при x.
Прочитайте вид с вершиной и саму вершину. Для уравнения проследите шаг с извлечением корня до точных решений.

Формулы

Полный квадрат

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Общий вид с вершиной

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Вершина

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Разобранный пример: 2x² − 8x + 3

В примере выделяется полный квадрат в $2x^2 - 8x + 3$ . Так как $a = 2$ , калькулятор сначала выносит 2 за скобки из членов с $x$ : $2(x^2 - 4x) + 3$ . Половина от $-4$ равна $-2$ , а её квадрат равен 4.

Прибавив и вычтя 4 в скобке, получаем $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ : вид с вершиной — $2(x - 2)^2 - 5$ , а вершина — $(2, -5)$ .

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

2(x - 2)^{2} - 5

Как мы поняли вашу задачу

Приводим квадратный трёхчлен к виду с выделенной вершиной, выделяя полный квадрат.

Пошаговое решение

Определяем a, b и c
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
Выносим a = 2 за скобки из членов с x
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Берём половину коэффициента при x и возводим её в квадрат
Половина от -4 равна -2; её квадрат равен 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Прибавляем и вычитаем этот квадрат внутри скобки
Прибавление 4 даёт полный квадрат; вычитание сохраняет значение неизменным (вычитаемая часть при выходе из скобки умножается на a = 2).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Записываем полный квадрат и объединяем свободные члены
$2(x - 2)^{2} - 5$
Находим вершину
В a(x − h)² + k вершина — (h, k) = (2, -5); ось симметрии — x = 2. Так как a > 0, ветви параболы направлены вверх, и k — наименьшее значение.

Использованные формулы

Выделение полного квадрата
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Вершина
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Вид с вершиной: 2(x - 2)^2 - 5. Вершина (2, -5).

Проверка

Раскрыв скобки в 2(x - 2)^2 - 5, снова получаем 2x^2 - 8x + 3.

Подробное объяснение

Почему квадрат половины коэффициента?

Если раскрыть $(x + p)^2$ , получится $x^2 + 2px + p^2$ . Сравнивая с $x^2 + bx$ , видим, что средние члены совпадают при $2p = b$ , то есть $p = b/2$ , а недостающий свободный член равен $p^2 = (b/2)^2$ . Геометрически $x^2 + bx$ — это квадрат со стороной $x$ и два прямоугольника $x \times b/2$ ; маленький угловой квадрат площадью $(b/2)^2$ дополняет фигуру до большого квадрата, отсюда и название.

Когда старший коэффициент не равен 1

Выносите $a$ за скобки только из членов с $x^2$ и $x$ , а свободный член оставляйте снаружи. Выделите полный квадрат в скобке и умножьте вычитаемый квадрат на $a$ , когда выносите его из скобки. Забыть это умножение — самая частая ошибка: в примере $-4$ в скобке превращается снаружи в $-8$ .

Если $a$ отрицательно, ветви параболы направлены вниз, а вершина — точка максимума. Калькулятор выносит отрицательный коэффициент точно так же, из-за чего знаки в скобке меняются.

Решение уравнения выделением полного квадрата

Для $x^2 - 4x - 1 = 0$ выделение полного квадрата даёт $(x - 2)^2 = 5$ . Извлекая квадратный корень из обеих частей с обоими знаками, получаем $x - 2 = \pm\sqrt5$ , то есть $x = 2 \pm \sqrt5$ . Если повторить те же шаги с буквами вместо чисел, получится формула корней квадратного уравнения.

Если правая часть отрицательна, как в $(x + 3)^2 = -4$ , получающемся из $x^2 + 6x + 13 = 0$ , действительных корней нет. Калькулятор сообщает об этом и указывает также комплексную пару $-3 \pm 2i$ , полученную с помощью $\sqrt{-4} = 2i$ .

Как прочитать график по виду с вершиной

Вид с вершиной описывает параболу как сдвиг графика $y = x^2$ . Значение $h$ сдвигает кривую вправо (или влево, если $h$ отрицательно), $k$ — вверх или вниз, а $a$ растягивает её по вертикали и отражает, если оно отрицательно. Ось симметрии — вертикальная прямая $x = h$ : точки на одинаковом расстоянии по обе стороны от $h$ имеют одинаковое значение y.

Это сильно ускоряет построение эскиза. Для $2(x - 2)^2 - 5$ отметьте вершину $(2, -5)$ и отступите на одну единицу в каждую сторону: значение y увеличивается на $a \cdot 1^2 = 2$ , что даёт $(1, -3)$ и $(3, -3)$ . Множество значений читается сразу, $y \ge -5$ , поэтому вид с вершиной — естественная отправная точка для вопросов об области определения и множестве значений.

Типичные ошибки

Прибавлять $(b/2)^2$ , не вычитая его затем, из-за чего выражение меняется.
Возводить в квадрат $b$ вместо $b/2$ .
Забывать умножить вычитаемый квадрат на $a$ , когда $a \ne 1$ .
При решении уравнения учитывать только положительный корень.
Считать, что вершина $a(x + 3)^2 + k$ находится при $x = 3$ ; на самом деле она при $x = -3$ .

Советы

Записывайте $x - h$ явно: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , поэтому $h = -3$ .
Проверяйте вид с вершиной, раскрывая скобки и возвращаясь к общему виду.
Если $b$ нечётно, работайте с обыкновенными дробями, а не с десятичными; половина от 5 равна $\tfrac52$ .
Для быстрой проверки сравнивайте свою вершину с $h = -b/(2a)$ .

Частые вопросы

Что такое вид с вершиной?

Это запись квадратного трёхчлена в форме a, умноженное на (x минус h) в квадрате, плюс k. Точка (h, k) — вершина параболы, а a определяет направление ветвей и растяжение.

Как выделить полный квадрат, если a не равно 1?

Вынесите a за скобки из членов с x в квадрате и x, выделите полный квадрат в скобке и умножьте вычитаемую константу на a, когда выносите её из скобки.

Что лучше: выделение полного квадрата или формула корней?

Оба способа дают одни и те же корни. Выделение полного квадрата дополнительно даёт вершину, которая помогает строить график, и именно с его помощью доказывают формулу корней квадратного уравнения.

Что делать, если коэффициент при x нечётный?

Работайте с дробями. Для x в квадрате плюс 5x прибавьте и вычтите 25/4 и получите (x плюс 5/2) в квадрате минус 25/4.

Может ли выделение полного квадрата привести к комплексным корням?

Да. Если квадрат равен отрицательному числу, действительных корней нет. Калькулятор сообщает об этом и указывает также пару комплексно-сопряжённых корней вида a плюс-минус bi.

Как применять этот метод к окружностям?

Если выделить полный квадрат отдельно по x и по y, уравнение вроде x в квадрате плюс y в квадрате минус 4x плюс 6y равно 3 приводится к каноническому уравнению окружности, из которого видны центр и радиус.

Попробуйте калькулятор выделения полного квадрата

Введите квадратный трёхчлен и получите вид с вершиной, вершину и точные корни.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель

Выделение полного квадрата