Решение квадратных уравнений: разложение на множители, выделение полного квадрата и формула корней

Что делает уравнение квадратным

Квадратное уравнение можно записать в виде $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \neq 0$. Наибольшая степень неизвестного равна 2, поэтому решений не больше двух; их называют корнями. Прежде чем применять какой-либо способ, перенесите все члены в одну сторону, чтобы в другой остался ноль. Это не по желанию: и свойство нулевого произведения, и формула корней этого требуют.

Например, $x^2 = 3x + 10$ превращается в $x^2 - 3x - 10 = 0$, то есть $a = 1$, $b = -3$ и $c = -10$. Выписать заранее три коэффициента с их знаками — самый простой способ избежать ошибок в знаках позже.

На графике решения — это абсциссы точек, в которых парабола $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось x. Парабола может пересечь ось x дважды, коснуться её один раз в вершине или вовсе не встретить: поэтому у квадратного уравнения может быть два, одно или ни одного действительного решения.

Быстрые частные случаи: без члена с x или без свободного члена

Две особые формы вообще не требуют общего способа.

• Если $b = 0$, выразите $x^2$ и извлеките корень, не забыв оба знака: $x^2 = 49$ даёт $x = \pm 7$, а $4x^2 - 9 = 0$ даёт $x^2 = \frac{9}{4}$, то есть $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Если $c = 0$, вынесите $x$ за скобки: $x^2 - 5x = 0$ превращается в $x(x - 5) = 0$, значит, $x = 0$ или $x = 5$.

Никогда не делите обе части $x^2 - 5x = 0$ на $x$. Вы потеряете решение $x = 0$, потому что при $x = 0$ делили бы на ноль.

Способ 1: разложение на множители

Если квадратный трёхчлен распадается на два линейных множителя, остальное делает свойство нулевого произведения: если $pq = 0$, то $p = 0$ или $q = 0$. При $a = 1$ ищите два числа, произведение которых равно $c$, а сумма — $b$.

Здесь $-5$ и $2$ в произведении дают $-10$, а в сумме $-3$. При $a \neq 1$ тот же подбор расширяет метод переброски (AC).

Разложение на множители работает быстро, но удобно только тогда, когда корни рациональны. Полезная проверка: при целых коэффициентах трёхчлен раскладывается над целыми числами тогда и только тогда, когда дискриминант $b^2 - 4ac$ — полный квадрат. Для $6x^2 + x - 2$ он равен $1 + 48 = 49 = 7^2$. Больше практики — в руководстве по разложению многочленов на множители.

Способ 2: выделение полного квадрата

При выделении полного квадрата левую часть записывают как полный квадрат плюс константа. Возьмём $x^2 + 6x - 7 = 0$. Перенесите константу в другую часть, а затем прибавьте $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ к обеим частям:

Значит, $x = 1$ или $x = -7$. Те же шаги дают запись через вершину $y = (x + 3)^2 - 16$, которая показывает вершину параболы в точке $(-3, -16)$. Полный алгоритм, в том числе для случая $a \neq 1$, — в нашем руководстве по выделению полного квадрата.

Способ 3: дискриминант и формула корней

Выделение полного квадрата в общем уравнении $ax^2 + bx + c = 0$ даёт формулу, которая верна для любого квадратного уравнения:

Оставляйте весь числитель над $2a$. Запись $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ — одна из самых частых ошибок в этой теме.

Что говорит дискриминант

Выражение под корнем, $\Delta = b^2 - 4ac$, сообщает тип решения ещё до того, как вы закончите вычисления:

• $\Delta > 0$: два различных действительных корня; парабола пересекает ось x дважды.
• $\Delta = 0$: один корень кратности два; вершина касается оси x. Пример: у $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ единственный корень $x = 3$.
• $\Delta < 0$: действительных корней нет, но есть два комплексно сопряжённых. Пример: у $x^2 + 2x + 5 = 0$ имеем $\Delta = 4 - 20 = -16$, значит, $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Прикладная задача: высота брошенного мяча

Квадратные уравнения описывают всё, что поднимается и падает с постоянным ускорением. Пусть высота мяча в метрах через $t$ секунд равна $h = -5t^2 + 20t + 25$ (при $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Отбросить решение, не имеющее смысла в условиях задачи, — часть ответа, а не мелочь.

Какой способ выбрать?

1. Если $b = 0$ или $c = 0$, используйте быстрые частные случаи, описанные выше.
2. Пробуйте разложение на множители, если коэффициенты — небольшие целые числа, а дискриминант — полный квадрат.
3. Выделяйте полный квадрат, если вам нужна ещё и вершина.
4. Во всех остальных случаях применяйте формулу корней: она работает всегда.

Каким бы способом вы ни решали, проверьте корни по теореме Виета. Их сумма должна равняться $-\frac{b}{a}$, а произведение — $\frac{c}{a}$. Для $6x^2 + x - 2 = 0$ корни $\frac{1}{2}$ и $-\frac{2}{3}$ имеют сумму $-\frac{1}{6}$ и произведение $-\frac{1}{3}$, ровно $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$.

Частые ошибки

• Решать $x^2 = 3x + 10$, не перенеся предварительно все члены в одну сторону.
• Брать только положительный корень, из-за чего в $x^2 = 49$ теряется решение $x = -7$.
• Неверно возводить в квадрат отрицательное $b$: если $b = -3$, то $b^2 = 9$, а не $-9$. При подстановке ставьте скобки.
• Делить на $2a$ только часть числителя.
• Приравнивать множители не к тому значению: у $(x - 5)(x + 2) = 0$ корни $5$ и $-2$, со знаками, противоположными числам в скобках.

Сверяйте своё решение с калькулятором квадратных уравнений и стройте параболу в построителе графиков, чтобы увидеть корни как точки пересечения с осью x.

Выбор способа на практике

Ученики часто спрашивают, какой способ правильный. Все верные способы дают одни и те же корни, поэтому настоящий вопрос в том, какой из них быстрее и надёжнее для уравнения перед вами. Хорошо работает короткий порядок действий. Сначала поищите отсутствующий член: если нет свободного члена, вынесите $x$ за скобки; если нет члена с $x$, выразите $x^2$ и извлеките корень. Затем дайте себе секунд пятнадцать на поиск целых множителей. Если ничего не видно, переходите прямо к дискриминанту, а не перебирайте новые пары множителей.

Выделение полного квадрата — лучший выбор, когда задача требует ещё и вершину, когда коэффициент при $x$ чётный, а старший коэффициент равен 1, или когда этого требует условие. График отлично подходит для оценки корней и проверки числа действительных решений, но считывание с графика всегда приближённое: используйте его для проверки, а не как окончательный ответ, если только корни явно не целые.

На контрольной в условиях нехватки времени сначала вычислите дискриминант. Если это полный квадрат, уравнение раскладывается над целыми или рациональными числами; если он отрицателен, вы сразу знаете, что действительных корней нет.

Проверка корней

Подстановка — самая надёжная проверка: подставьте каждый корень в исходное уравнение и убедитесь, что левая часть равна нулю. С иррациональными корнями это утомительно делать вручную, поэтому используйте сумму и произведение корней. Для $2x^2 + 4x - 3 = 0$ корни $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ имеют сумму $-2$, равную $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, и произведение $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, равное $\frac{c}{a}$. Оба совпадают, значит, корни верны.

Проверьте и то, имеет ли ответ смысл в условиях задачи. В примере с броском один корень уравнения был отрицательным, а отрицательное время до броска не имеет физического смысла: на вопрос отвечает только положительный корень. В прикладных задачах о длинах, ценах или количествах одно из решений часто отбрасывают по той же причине, и стоит одним предложением объяснить почему.

Каждый шаг можно сверить с калькулятором квадратных уравнений, который показывает дискриминант, точные корни и вершину.

Частые вопросы