Матричный калькулятор

О матричном калькуляторе

Матрицы располагают числа по строкам и столбцам; это язык линейной алгебры, компьютерной графики, экономических моделей, статистики и машинного обучения. Сами операции просты, но складываются из множества мелких умножений и сложений, и одна ошибка в одном элементе портит весь ответ.

Калькулятор выполняет девять матричных операций: произведение, сумму, разность, умножение на число, целые степени, транспонирование, приведение к ступенчатому виду, ранг и след. Элементы могут быть целыми числами, десятичными дробями или обыкновенными дробями, и все вычисления точные: результат вроде $\frac32$ выводится дробью, а не округлённой десятичной записью. При приведении к ступенчатому виду каждое преобразование строк перечисляется по порядку.

Что такое матрица?

Матрица — это прямоугольная таблица чисел из $m$ строк и $n$ столбцов, называемая матрицей размера $m \times n$ . Элемент в строке $i$ и столбце $j$ обозначается $a_{ij}$ . У квадратной матрицы строк столько же, сколько столбцов, а у единичной матрицы $I$ на главной диагонали стоят единицы, а везде остальное — нули.

Матрицы задают линейные отображения и системы линейных уравнений. Умножить матрицу на вектор значит применить отображение, например поворот или растяжение, а перемножить две матрицы — объединить два отображения в одно.

Как пользоваться матричным калькулятором

Выберите операцию из списка.
Введите матрицу A, разделяя элементы пробелами, а строки точками с запятой, например 1 2; 3 4.
Для произведения, суммы и разности введите матрицу B в том же формате.
Для умножения на число или возведения в степень введите число $k$ .
Нажмите «Вычислить» и следите за шагами до результата.

Формулы

Элемент произведения матриц

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Сумма

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Транспонированная матрица

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

След матрицы

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Разобранный пример: A × B (2×2)

В примере $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ умножается на $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Каждый элемент произведения — скалярное произведение строки $A$ на столбец $B$ ; левый верхний элемент равен $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Повторив это вычисление для остальных трёх позиций, получаем $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . В обратном порядке получается $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ — другая матрица, что показывает некоммутативность умножения матриц.

Решение ниже построено тем же вычислительным движком, что и калькулятор выше.

Ответ

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

Как мы поняли вашу задачу

Точно вычисляем A × B.

Пошаговое решение

Считываем матрицу A
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Считываем матрицу B
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Каждый элемент — скалярное произведение строки A на столбец B
Результат: 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Результат
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Использованные формулы

Произведение матриц
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A имеет размер 2×2, а B — размер 2×2, поэтому AB имеет размер 2×2. Умножение матриц некоммутативно: BA в общем случае отличается.

Проверка

Все вычисления точные (дроби, без округления).

Подробное объяснение

Когда операции определены?

Сумма и разность требуют матриц одинакового размера и вычисляются поэлементно. Произведение $AB$ требует, чтобы число столбцов $A$ равнялось числу строк $B$ ; матрица $m \times n$ , умноженная на матрицу $n \times p$ , даёт результат размера $m \times p$ . Матрицу $2 \times 3$ нельзя умножить на матрицу $2 \times 2$ , и калькулятор объясняет несовпадение размеров, а не выдаёт код ошибки.

Степени определены только для квадратных матриц, поскольку $A \cdot A$ требует согласованных размеров. Возведя $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ в пятую степень, получаем $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , элементы которой — числа Фибоначчи.

Ступенчатый вид и ранг

Приведённый ступенчатый вид получается с помощью трёх элементарных преобразований строк: перестановки двух строк, умножения строки на ненулевое число и прибавления к строке кратного другой строки. Цель — чтобы в каждой ненулевой строке был ведущий элемент 1 с нулями над ним и под ним. Приведённый ступенчатый вид — стандартный способ решать системы линейных уравнений, находить базис и исследовать линейную независимость.

Ранг — это число ненулевых строк в приведённом ступенчатом виде, то есть также число линейно независимых строк или столбцов. Матрицу $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ можно привести к виду с нулевой строкой, поэтому её ранг равен 2: третья строка — комбинация первых двух.

Транспонирование и след

Транспонированная матрица — это отражение матрицы относительно главной диагонали: строки становятся столбцами. Она встречается в скалярных произведениях, в методе наименьших квадратов и в определении симметричной матрицы, которая равна своей транспонированной. След — это сумма диагональных элементов квадратной матрицы; он равен сумме собственных значений, что делает его быстрой проверкой при их вычислении.

Типичные ошибки

Перемножать матрицы поэлементно, а не по правилу «строка на столбец».
Считать, что $AB = BA$ ; порядок множителей важен.
Пытаться сложить матрицы разного размера.
Неверно определять размер произведения; матрица $m \times n$ , умноженная на матрицу $n \times p$ , даёт $m \times p$ .
При преобразованиях умножать строку на ноль, из-за чего теряется информация.

Советы

Перед умножением подпишите размер рядом с каждой матрицей, чтобы проверить, существует ли произведение.
Используйте дроби, а не округлённые десятичные числа, чтобы преобразования строк оставались точными.
Проверяйте произведение, пересчитав один элемент вручную.
Используйте калькулятор определителей, чтобы проверить, обратима ли квадратная матрица.
Используйте калькулятор систем уравнений, если ваша матрица получена из системы линейных уравнений.

Частые вопросы

Как ввести матрицу?

Разделяйте элементы строки пробелами или запятыми, а строки — точками с запятой. Так, 1 2; 3 4 — это матрица 2×2 со строками (1, 2) и (3, 4).

Почему умножение матриц некоммутативно?

AB сочетает строки A со столбцами B, а BA — строки B со столбцами A. Это разные вычисления: в общем случае результаты различаются, а иногда одно произведение существует, а другое нет.

Когда можно перемножить две матрицы?

Когда число столбцов первой равно числу строк второй. У произведения столько же строк, сколько у первой матрицы, и столько же столбцов, сколько у второй.

Что такое приведённый ступенчатый вид?

Это вид, в котором каждая ненулевая строка начинается с ведущей 1, каждая ведущая 1 стоит правее ведущей 1 предыдущей строки, а все остальные элементы столбца с ведущей единицей равны нулю.

Что измеряет ранг матрицы?

Число линейно независимых строк или столбцов. Для квадратной матрицы полный ранг означает, что матрица обратима, а соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение.

Можно ли использовать дроби в матрице?

Да. Элементы вроде 1/2 принимаются, и все результаты вычисляются в точных дробях.

Что такое след матрицы?

Это сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы. Он также равен сумме собственных значений матрицы.

Попробуйте матричный калькулятор

Введите матрицы, выберите операцию и получите точный результат с объяснением каждого шага.

Открыть калькулятор Спросить ИИ-решатель